题目
七、设罐头番茄汁中的维生素含量服从N(μ,σ^2)分布,按规定,100 g罐头番茄-|||-汁中的平均维生素含量为 /gcdot . 从工厂的产品中选取容量为16的样本,其-|||-100g番茄汁测得样本均值为 overline (x)=20mg/g, 样本标准差为 =3.984, 试在显著性-|||-水平 alpha =0.05 的情况下检验这批罐头是否符合要求 ((t)_(0.05)(16)=1.7459,-|||-_(0.025)(16)=2.1199 . _(0.05)(15)=1.751 , _(0.025)(15)=2.1315 _(0.05)=1.960
题目解答
答案
解析
本题考查正态总体均值的假设检验，当总体方差未知时，使用t检验。解题思路如下：
- 提出原假设和备择假设：
- 原假设 $H_0$ 表示这批罐头符合要求，即平均维生素含量不低于规定值 $21mg/g$，所以 $H_0:\mu\geq21$。
- 备择假设 $H_1$ 表示这批罐头不符合要求，即平均维生素含量低于规定值 $21mg/g$，所以 $H_1:\mu \lt 21$。
- 确定检验统计量：
- 由于总体方差 $\sigma^2$ 未知，样本容量 $n = 16$，此时应使用t检验统计量，其公式为 $t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$，其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$\mu_0$ 是原假设中的总体均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量。
- 确定显著性水平和临界值：
- 已知显著性水平 $\alpha = 0.05$，本题是单侧检验（左侧检验），自由度 $df=n - 1=16 - 1 = 15$，查t分布表可得临界值 $t_{\alpha}(n - 1)=t_{0.05}(15)=1.751$。
- 计算检验统计量的值：
- 已知 $n = 16$，$\overline{x}=20$，$s = 3.984$，$\mu_0 = 21$，将这些值代入t检验统计量公式可得：
$\begin{align*}t&=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\\&=\frac{20 - 21}{3.984/\sqrt{16}}\\&=\frac{-1}{3.984/4}\\&=\frac{-1}{0.996}\\&\approx - 1.004\end{align*}$
- 已知 $n = 16$，$\overline{x}=20$，$s = 3.984$，$\mu_0 = 21$，将这些值代入t检验统计量公式可得：
- 做出决策：
- 比较计算得到的t值和临界值，若 $t\gt{}t_{\alpha}(n - 1)$，则接受原假设 $H_0$；若 $t\lt{}t_{\alpha}(n - 1)$，则拒绝原假设 $H_0$。
- 因为 $-1.004\gt{}-1.751$，所以接受原假设 $H_0$，即认为这批罐头符合要求。