正常齿制标准直齿圆柱齿轮不发生根切的最少齿数为________。

本题考查正常齿制标准直齿圆柱齿轮不发生根切的最少齿数的知识点。解题思路是依据齿轮根切的原理和相关几何关系推导出不发生根切的最少齿数公式，再结合正常齿制的参数进行计算。

对于标准直齿圆柱齿轮，当用范成法加工齿轮时，若刀具的齿顶线与啮合线的交点超过了被切齿轮的极限啮合点，就会发生根切现象。为了避免根切，需要满足一定的条件。

设齿轮的齿数为 $z$，压力角为 $\alpha$，齿顶高系数为 $h_a^*$。根据齿轮根切的临界条件，可以推导出不发生根切的最少齿数 $z_{min}$ 的计算公式为：
$z_{min}=\frac{2h_a^*}{\sin^2\alpha}$

在正常齿制标准直齿圆柱齿轮中，压力角 $\alpha = 20^{\circ}$，齿顶高系数 $h_a^* = 1$。

将 $\alpha = 20^{\circ}$ 和 $h_a^* = 1$ 代入公式 $z_{min}=\frac{2h_a^*}{\sin^2\alpha}$ 中进行计算：

• 先计算 $\sin\alpha$ 的值，$\sin20^{\circ}\approx0.342$。
• 再计算 $\sin^2\alpha$ 的值，$\sin^220^{\circ}=(0.342)^2 = 0.117$。
• 最后计算 $z_{min}$ 的值，$z_{min}=\frac{2\times1}{0.117}\approx17.1$。

由于齿数必须为整数，所以正常齿制标准直齿圆柱齿轮不发生根切的最少齿数取 $17$。