题目

已知铁和铜在室温下的晶格常数分别为 2.86 times 10^-10 , (m) 和 3.607 times 10^-10 , (m), 求 1 , (cm)^3 的铁和铜中的原子数。

已知铁和铜在室温下的晶格常数分别为 $2.86 \times 10^{-10} \, \text{m}$ 和 $3.607 \times 10^{-10} \, \text{m}$, 求 $1 \, \text{cm}^3$ 的铁和铜中的原子数。

题目解答

答案

1. 铁（BCC）： 晶胞体积 $ V_{\text{Fe}} = (2.86 \times 10^{-8} \, \text{cm})^3 = 2.34 \times 10^{-23} \, \text{cm}^3 $。 1 cm³中晶胞数 $ n_{\text{Fe}} = \frac{1}{2.34 \times 10^{-23}} \approx 4.27 \times 10^{22} $。 原子数 $ N_{\text{Fe}} = 2 \times n_{\text{Fe}} \approx 8.54 \times 10^{22} $。 2. 铜（FCC）： 晶胞体积 $ V_{\text{Cu}} = (3.607 \times 10^{-8} \, \text{cm})^3 = 4.69 \times 10^{-23} \, \text{cm}^3 $。 1 cm³中晶胞数 $ n_{\text{Cu}} = \frac{1}{4.69 \times 10^{-23}} \approx 2.13 \times 10^{22} $。 原子数 $ N_{\text{Cu}} = 4 \times n_{\text{Cu}} \approx 8.52 \times 10^{22} $。 最终结果： - 1 cm³中铁的原子数约为 $ 8.54 \times 10^{22} $ 个。 - 1 cm³中铜的原子数约为 $ 8.52 \times 10^{22} $ 个。

解析

本题考查晶体结构中原子数的计算，解题思路是先根据晶格常数计算出晶胞体积，再用总体积除以晶胞体积得到晶胞个数，最后结合不同晶体结构（体心立方BCC和面心立方FCC）中每个晶胞含有的原子数，计算出给定体积内的原子数。

铁（BCC结构）

  1. 计算铁晶胞体积：
    已知铁的晶格常数$a_{Fe}=2.86\times 10^{-10}\ m$，因为$1\ m = 100\ cm$，所以$a_{Fe}=2.86\times 10^{-8}\ cm$。
    晶胞为立方体，其体积公式为$V = a^3$，则铁晶胞体积$V_{Fe}=a_{Fe}^3=(2.86\times 10^{-8}\ cm)^3$
    $\begin{align*}V_{Fe}&=(2.86)^3\times(10^{-8})^3\ cm^3\\&=23.393656\times 10^{-24}\ cm^3\\&\approx 2.34\times 10^{-23}\ cm^3\end{align*}$
  2. 计算$1\ cm^3$中铁的晶胞数：
    $1\ cm^3$中铁的晶胞数$n_{Fe}=\frac{1}{V_{Fe}}=\frac{1}{2.34\times 10^{-23}\ cm^3}\approx 4.27\times 10^{22}$
  3. 计算$1\ cm^3$中铁的原子数：
    体心立方（BCC）结构中每个晶胞含有$2$个原子，所以$1\ cm^3$中铁的原子数$N_{Fe}=2\times n_{Fe}=2\times 4.27\times 10^{22}=8.54\times 10^{22}$

铜（FCC结构）

  1. 计算铜晶胞体积：
    已知铜的晶格常数$a_{Cu}=3.607\times 10^{-10}\ m$，换算为$a_{Cu}=3.607\times 10^{-8}\ cm$。
    同理，铜晶胞体积$V_{Cu}=a_{Cu}^3=(3.607\times 10^{-8}\ cm)^3$
    $\begin{align*}V_{Cu}&=(3.607)^3\times(10^{-8})^3\ cm^3\\&=46.90477443\times 10^{-24}\ cm^3\\&\approx 4.69\times 10^{-23}\ cm^3\end{align*}$
  2. 计算$1\ cm^3$中铜的晶胞数：
    $1\ cm^3$中铜的晶胞数$n_{Cu}=\frac{1}{V_{Cu}}=\frac{1}{4.69\times 10^{-23}\ cm^3}\approx 2.13\times 10^{22}$
  3. 计算$1\ cm^3$中铜的原子数：
    面心立方（FCC）结构中每个晶胞含有$4$个原子，所以$1\ cm^3$中铜的原子数$N_{Cu}=4\times n_{Cu}=4\times 2.13\times 10^{22}=8.52\times 10^{22}$