题目

设 X_1, X_2, X_3, X_4 为总体 X sim N(2,4) 的简单随机样本，则 D(bar(X)) = ( ).A. 1B. -1C. 4D. 3

设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 为总体 $X \sim N(2,4)$ 的简单随机样本，则 $D(\bar{X}) = ($ $)$.

A. 1

B. -1

C. 4

D. 3

题目解答

答案

A. 1

解析

本题考查正态分布的性质以及样本均值方差的计算。解题的关键在于明确总体的方差，再利用样本均值方差与总体方差的关系进行计算。

  1. 首先明确已知条件：
    • 已知总体$X\sim N(2,4)$，根据正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$的表达式，其中$\mu$为均值，$\sigma^{2}$为方差，所以可得总体方差$\sigma^{2}=D(X) = 4$。
    • 又已知$X_1,X_2,X_3,X_4$为总体$X$的简单随机样本，样本容量$n = 4$。
  2. 然后根据样本均值方差的性质：
    • 对于总体$X$的简单随机样本$X_1,X_2,\cdots,X_n$，样本均值$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$，其方差$D(\bar{X})=\frac{D(X)}{n}$。
  3. 最后进行计算：
    • 将$D(X) = 4$，$n = 4$代入$D(\bar{X})=\frac{D(X)}{n}$，可得$D(\bar{X})=\frac{4}{4}=1$。