题目

设连续型随机变量 X sim N(3,2^2)，则 P2 < X leq 5 = _____。注：phi(1) = 0.8413，phi(0.5) = 0.6915

设连续型随机变量 $X \sim N(3,2^2)$，则 $P\{2 < X \leq 5\} = \_\_\_\_\_$。

注：$\phi(1) = 0.8413$，$\phi(0.5) = 0.6915$

题目解答

答案

将 $X \sim N(3, 2^2)$ 转化为标准正态变量 $Z = \frac{X - 3}{2}$，则
$P\{2 < X \leq 5\} = P\left\{-0.5 < Z \leq 1\right\} = P\{Z \leq 1\} - P\{Z \leq -0.5\}$
由标准正态分布性质 $P\{Z \leq -0.5\} = 1 - P\{Z \leq 0.5\}$，得
$P\left\{-0.5 < Z \leq 1\right\} = \phi(1) + \phi(0.5) - 1 = 0.8413 + 0.6915 - 1 = 0.5328$

答案： $\boxed{0.5328}$

解析

本题考查正态分布的概率计算，解题思路是先将给定的正态分布随机变量转化为标准正态分布变量，再利用标准正态分布的性质和已知的标准正态分布函数值进行计算。

  1. 将非标准正态分布转化为标准正态分布：
    已知连续型随机变量$X \sim N(3,2^2)$，根据正态分布的标准化公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$（其中$\mu$为均值，$\sigma$为标准差），这里$\mu = 3$，$\sigma = 2$，则可将$X$转化为标准正态变量$Z = \frac{X - 3}{2}$。
    对于$P\{2 \lt X \leq 5\}$，将不等式两边同时进行标准化变换：
    当$X = 2$时，$Z_1=\frac{2 - 3}{2}=-\frac{1}{2}=-0.5$；
    当$X = 5$时，$Z_2=\frac{5 - 3}{2}=1$。
    所以$P\{2 \lt X \leq 5\} = P\left\{-0.5 \lt Z \leq 1\right\}$。
  2. 利用标准正态分布的性质计算概率：
    根据概率的性质，$P\left\{-0.5 \lt Z \leq 1\right\} = P\{Z \leq 1\} - P\{Z \leq -0.5\}$。
    又因为标准正态分布具有对称性，即$P\{Z \leq -z\} = 1 - P\{Z \leq z\}$，所以$P\{Z \leq -0.5\} = 1 - P\{Z \leq 0.5\}$。
    将$P\{Z \leq -0.5\} = 1 - P\{Z \leq 0.5\}$代入$P\left\{-0.5 \lt Z \leq 1\right\} = P\{Z \leq 1\} - P\{Z \leq -0.5\}$中，可得：
    $P\left\{-0.5 \lt Z \leq 1\right\} = P\{Z \leq 1\} - (1 - P\{Z \leq 0.5\}) = P\{Z \leq 1\} + P\{Z \leq 0.5\} - 1$。
  3. 代入已知值计算最终结果：
    已知$\phi(1) = P\{Z \leq 1\} = 0.8413$，$\phi(0.5) = P\{Z \leq 0.5\} = 0.6915$，代入上式可得：
    $P\left\{-0.5 \lt Z \leq 1\right\} = 0.8413 + 0.6915 - 1 = 0.5328$。