题目

12.某抗菌素在人体血液中分解呈现简单级数的反应,如果给患者在上午8-|||-点注射一针抗菌素,然后在不同时刻t测定抗菌素在血液中的质量浓度ρ[质量-|||-浓度单位以 cdot ((100{cm)^3)}^-1 表示],得到如下数据:-|||-t/h 4 8 12 16-|||-rho /mgcdot ((100{cm)^3)}^-1] 0.480 0.326 0.222 0.151-|||-试计算:-|||-(1)该分解反应的级数;-|||-(2)求反应的速率常数k和半衰期 _(1)/2;-|||-(3)若抗菌素在血液中质量浓度不低于 .370mgcdot ((100{cm)^3)}^-1 才为有效,-|||-求应该注射第二针的时间。

题目解答

答案

解析

本题主要考查化学反应级数的判断、一级反应速率常数和半衰期的计算以及根据反应动力学计算药物有效时间。解题思路如下：

  1. 判断反应级数：
    • 对于一级反应，其定积分式为$\ln \dfrac {a}{a - x} = k_1t$，变形可得$\dfrac {a}{a - x} = e^{k_1t}$。当实验间隔时间$t$相同时，$e^{k_1t}$为定值，即$\dfrac {a}{a - x}$为定值。
    • 我们将不同时刻的浓度数据代入$\dfrac {a}{a - x}$进行计算，若计算结果基本为常数，则可判断该反应为一级反应。
    • 计算$\dfrac{0.480}{0.326}\approx1.472$，$\dfrac{0.326}{0.222}\approx1.473$，$\dfrac{0.222}{0.151}\approx1.470$，这三个值基本相等，所以该反应为一级反应。
  2. 计算反应的速率常数$k$和半衰期$t_{1/2}$：
    • 已知一级反应的定积分式$k_1=\dfrac {1}{t}\ln \dfrac {a}{a - x}$，我们取$t = 4h$，$\dfrac {a}{a - x}=1.470$代入计算速率常数$k_1$。
    • $k_1=\dfrac {1}{4h}\ln 1.470=\dfrac{0.385}{4h}=0.096h^{-1}$。
    • 对于一级反应，半衰期$t_{1/2}$的计算公式为$t_{1/2}=\dfrac {\ln 2}{k_1}$，将$k_1 = 0.096h^{-1}$代入可得：
    • $t_{1/2}=\dfrac {\ln 2}{0.096h^{-1}}=\dfrac{0.693}{0.096h^{-1}} = 7.22h$。
  3. 计算应该注射第二针的时间：
    • 已知一级反应的积分式$t=\dfrac {1}{k}\ln \dfrac {a}{a - x}$，这里$a = 0.480mg\cdot (100cm^3)^{-1}$（第一次测量时的浓度可看作初始浓度），$a - x = 0.370mg\cdot (100cm^3)^{-1}$，$k = 0.096h^{-1}$。
    • 代入可得$t=\dfrac {1}{0.096h^{-1}}\times \ln \dfrac {0.480}{0.370}=\dfrac{1}{0.096h^{-1}}\times0.263 = 2.74h\approx2.7h$。
    • 因为第一次测量是在上午$8$点过$4h$，所以注射第二针的时间约是$t = 2.7h + 4.0h = 6.7h$。
    • 另一种方法，先计算抗菌素的初始浓度$a$，由$\ln \dfrac {a}{a - x} = k_1t$，取$t = 4h$，$a - x = 0.480mg\cdot (100cm^3)^{-1}$，$k_1 = 0.096h^{-1}$，则$\ln \dfrac {a}{0.480}=0.096h^{-1}\times 4.0h = 0.384$，$\dfrac {a}{0.480}=e^{0.384}=1.469$，解得$a = 0.480\times1.469 = 0.705mg\cdot (100cm^3)^{-1}$。
    • 再根据$t=\dfrac {1}{k}\ln \dfrac {a}{a - x}$，$a = 0.705mg\cdot (100cm^3)^{-1}$，$a - x = 0.370mg\cdot (100cm^3)^{-1}$，$k = 0.096h^{-1}$，可得$t=\dfrac {1}{0.096h^{-1}}\ln \dfrac {0.705}{0.370}=\dfrac{1}{0.096h^{-1}}\times0.644 = 6.71h\approx6.7h$。