题目

10名病人服药前(x_(i))后(y_(i))血液中血红蛋白含量如所示，问该药是否引起血红蛋白含量的变化。(显著性水平alpha=0.05)x_(i) 113 150 150 135 128 100 110 120 130 123y_(i) 140 138 140 135 135 120 147 114 138 120d_(i) -27 12 10 0 -7 -20 -37 6 -8 3

10名病人服药前($x_{i}$)后($y_{i}$)血液中血红蛋白含量如所示，问该药是否引起血红蛋白含量的变化。(显著性水平$\alpha=0.05$) $x_{i}$ 113 150 150 135 128 100 110 120 130 123 $y_{i}$ 140 138 140 135 135 120 147 114 138 120 $d_{i}$ -27 12 10 0 -7 -20 -37 6 -8 3

题目解答

答案

  1. 计算差值均值：
    差值 $d_i = y_i - x_i$，均值 $\bar{d} = \frac{1}{10} \sum d_i = \frac{-68}{10} = -6.8$。

  2. 计算差值标准差：
    标准差 $s_d = \sqrt{\frac{1}{9} \sum (d_i - \bar{d})^2} \approx 16.46$。

  3. 计算 t 统计量：
    $t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{10}} \approx \frac{-6.8}{5.199} \approx -1.307$。

  4. 确定临界值：
    自由度 $n-1 = 9$，显著性水平 $\alpha = 0.05$，临界值 $t_{0.025, 9} \approx 2.262$。

  5. 决策：
    $|t| \approx 1.307 < 2.262$， fail to reject 零假设。

结论：
该药没有引起血红蛋白含量的变化。
$\boxed{\text{该药没有引起血红蛋白含量的变化。}}$

解析

本题考查配对样本 t 检验的知识，用于判断服药前后血红蛋白含量是否有显著变化。解题思路如下：

  1. 首先明确本题是配对样本的情况，因为每个病人都有服药前和服药后的血红蛋白含量数据，我们通过计算差值 $d_i = y_i - x_i$ 来分析变化情况。
  2. 计算差值的均值 $\bar{d}$，它反映了总体差值的平均水平。计算公式为 $\bar{d}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}d_i$，其中 $n$ 是样本数量，这里 $n = 10$。
    • 已知 $d_i$ 分别为 -27, 12, 10, 0, -7, -20, -37, 6, -8, 3，将其代入公式可得：
    • $\bar{d}=\frac{1}{10}\sum_{i = 1}^{10}d_i=\frac{-27 + 12+10 + 0-7-20-37 + 6-8 + 3}{10}=\frac{-68}{10}=-6.8$。
  3. 计算差值的标准差 $s_d$，它衡量了差值数据的离散程度。计算公式为 $s_d=\sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(d_i-\bar{d})^2}$。
    • 先计算 $(d_i-\bar{d})^2$ 的值：
      • 当 $d_1=-27$ 时，$(d_1-\bar{d})^2=(-27-(-6.8))^2=(-20.2)^2 = 408.04$；
      • 当 $d_2 = 12$ 时，$(d_2-\bar{d})^2=(12-(-6.8))^2=(18.8)^2=353.44$；
      • 当 $d_3 = 10$ 时，$(d_3-\bar{d})^2=(10-(-6.8))^2=(16.8)^2 = 282.24$；
      • 当 $d_4 = 0$ 时，$(d_4-\bar{d})^2=(0-(-6.8))^2=(6.8)^2=46.24$；
      • 当 $d_5=-7$ 时，$(d_5-\bar{d})^2=(-7-(-6.8))^2=(-0.2)^2 = 0.04$；
      • 当 $d_6=-20$ 时，$(d_6-\bar{d})^2=(-20-(-6.8))^2=(-13.2)^2=174.24$；
      • 当 $d_7=-37$ 时，$(d_7-\bar{d})^2=(-37-(-6.8))^2=(-30.2)^2 = 912.04$；
      • 当 $d_8 = 6$ 时，$(d_8-\bar{d})^2=(6-(-6.8))^2=(12.8)^2=163.84$；
      • 当 $d_9=-8$ 时，$(d_9-\bar{d})^2=(-8-(-6.8))^2=(-1.2)^2 = 1.44$；
      • 当 $d_{10}=3$ 时，$(d_{10}-\bar{d})^2=(3-(-6.8))^2=(9.8)^2=96.04$。
    • 则 $\sum_{i = 1}^{10}(d_i-\bar{d})^2=408.04+353.44+282.24+46.24+0.04+174.24+912.04+163.84+1.44+96.04 = 2433.6$。
    • 所以 $s_d=\sqrt{\frac{1}{10 - 1}\sum_{i = 1}^{10}(d_i-\bar{d})^2}=\sqrt{\frac{2433.6}{9}}\approx16.46$。
  4. 计算 t 统计量，用于检验差值的均值是否显著不为 0。计算公式为 $t=\frac{\bar{d}}{s_d/\sqrt{n}}$。
    • 已知 $\bar{d}=-6.8$，$s_d\approx16.46$，$n = 10$，代入可得：
    • $t=\frac{-6.8}{16.46/\sqrt{10}}\approx\frac{-6.8}{5.199}\approx - 1.307$。
  5. 确定临界值，根据自由度 $df=n - 1$ 和显著性水平 $\alpha$ 来查找 t 分布表。
    • 这里自由度 $df=10 - 1=9$，显著性水平 $\alpha = 0.05$，由于是双侧检验，所以 $\alpha/2=0.025$，查 t 分布表可得临界值 $t_{0.025,9}\approx2.262$。
  6. 进行决策，比较 $|t|$ 和临界值的大小。
    • 若 $|t|\gt{}t_{\alpha/2,n - 1}$，则拒绝零假设；若 $|t|\leq t_{\alpha/2,n - 1}$，则不拒绝零假设。
    • 这里 $|t|\approx1.307\lt{}2.262$，所以不拒绝零假设。
  7. 得出结论，根据决策结果判断该药是否引起血红蛋白含量的变化。因为不拒绝零假设，所以认为该药没有引起血红蛋白含量的变化。