4.(本题15分)设总体X的概率密度为 (x,theta )= {x)^(1-theta )/theta , 0lt xlt 1, 0, . (未知参数 (theta gt 0)-|||-X1,X2,,Xn为来自总体X的一个样本,求:-|||-(1)求:θ的最大似然估计量θ;-|||-(2)证明:θ是无偏估计量。

本题主要考查最大似然估计量的求解以及无偏估计量的证明。解题思路如下：

（1）求$\theta$的最大似然估计量$\hat{\theta}$

• 首先，根据总体$X$的概率密度函数写出似然函数$L(\theta)$。
• 然后，对似然函数取对数，得到对数似然函数$\ln L(\theta)$。
• 接着，对对数似然函数求关于$\theta$的导数，并令导数为$0$，解出$\theta$的值，即为$\theta$的最大似然估计值$\hat{\theta}$。

（2）证明$\hat{\theta}$是无偏估计量

• 要证明$\hat{\theta}$是无偏估计量，只需证明$E(\hat{\theta}) = \theta$。
• 先求出$E(\ln X)$，再根据$\hat{\theta}$的表达式求出$E(\hat{\theta})$，看是否等于$\theta$。

具体计算过程

（1）求$\theta$的最大似然估计量$\hat{\theta}$

已知总体$X$的概率密度为$f(x,\theta ) = \begin{cases} \dfrac {1}{\theta }x^{(1 - \theta )/\theta },&0 \lt x \lt 1\\ 0,&\text{其他} \end{cases}$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$为来自总体$X$的一个样本。
似然函数为：
$L(\theta)=\prod_{i = 1}^{n}f(x_i,\theta)=\begin{cases} \dfrac{1}{\theta^n}\prod_{i = 1}^{n}x_i^{(1 - \theta )/\theta },&0 \lt x_i \lt 1(i = 1,2,\cdots,n)\\ 0,&\text{其他} \end{cases}$
当$0 \lt x_i \lt 1(i = 1,2,\cdots,n)$时，对$L(\theta)$取对数得：
$\ln L(\theta)=-n\ln\theta+\frac{1 - \theta}{\theta}\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i=-n\ln\theta+\frac{1}{\theta}\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i-\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i$
对$\ln L(\theta)$求关于$\theta$的导数：
$\frac{d\ln L(\theta)}{d\theta}=-\frac{n}{\theta}-\frac{1}{\theta^2}\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i$
令$\frac{d\ln L(\theta)}{d\theta}=0$，即：
$-\frac{n}{\theta}-\frac{1}{\theta^2}\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i = 0$
两边同时乘以$-\theta^2$得：
$n\theta+\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i = 0$
解得：
$\theta=-\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i$
所以$\theta$的最大似然估计量为$\hat{\theta}=-\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\ln X_i$。

（2）证明$\hat{\theta}$是无偏估计量

先求$E(\ln X)$，根据期望的定义：
$E(\ln X)=\int_{0}^{1}\ln x\cdot f(x,\theta)dx=\int_{0}^{1}\ln x\cdot\frac{1}{\theta}x^{(1 - \theta )/\theta}dx$
令$t = \ln x$，则$x = e^t$，$dx = e^t dt$，当$x = 0$时，$t = -\infty$；当$x = 1$时，$t = 0$。
$E(\ln X)=\int_{-\infty}^{0}t\cdot\frac{1}{\theta}e^{(1 - \theta )t/\theta}\cdot e^t dt=\frac{1}{\theta}\int_{-\infty}^{0}t\cdot e^{t/\theta}dt$
利用分部积分法$\int_{a}^{b}u dv = uv|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}v du$，令$u = t$，$dv = e^{t/\theta}dt$，则$du = dt$，$v = \theta e^{t/\theta}$。
$E(\ln X)=\frac{1}{\theta}\left[t\cdot\theta e^{t/\theta}\big|_{-\infty}^{0}-\int_{-\infty}^{0}\theta e^{t/\theta}dt\right]=\frac{1}{\theta}\left[0 - \theta^2 e^{t/\theta}\big|_{-\infty}^{0}\right]=-\theta$
则$E(\hat{\theta})=E\left(-\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\ln X_i\right)=-\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(\ln X_i)$
因为$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立且同分布，所以$E(\ln X_i)=E(\ln X)=-\theta$，$i = 1,2,\cdots,n$。
$E(\hat{\theta})=-\frac{1}{n}\cdot n\cdot(-\theta)=\theta$
所以$\hat{\theta}$是无偏估计量。