关于标准差的叙述,下列哪项是错误的A. 反映全部观察值的离散程度B. 度量了一组数据偏离平均数的大小C. 反映了均数代表性的好坏D. 不会小于算术均数E. 适用于正态分布和近似正态分布

本题考查标准差的相关知识，解题思路是对每个选项所涉及的标准差性质进行逐一分析判断。

• 选项A：
  标准差是用来衡量一组数据离散程度的统计量，它考虑了数据集中每个数据点与均值的偏离情况，所以能够反映全部观察值的离散程度。例如，对于数据集$\{1, 2, 3, 4, 5\}$，其均值$\bar{x}=\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5}=3$，根据标准差公式$s = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n}}$，其中$n = 5$，$x_{i}$为每个数据点。
  $\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-3)^{2}=(1 - 3)^{2}+(2 - 3)^{2}+(3 - 3)^{2}+(4 - 3)^{2}+(5 - 3)^{2}=4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$，则标准差$s=\sqrt{\frac{10}{5}}=\sqrt{2}$，这个值体现了这组数据的离散程度，所以选项A正确。
• 选项B：
  标准差的定义就是基于数据与平均数的偏离程度来计算的，它度量了一组数据偏离平均数的大小。从标准差公式$s = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n}}$可以看出，$(x_{i}-\bar{x})$表示每个数据点与均值的偏差，通过对这些偏差平方求和再开方，得到的标准差就反映了数据偏离平均数的程度，所以选项B正确。
• 选项C：
  如果一组数据的标准差较小，说明数据比较集中在均值附近，均数对这组数据的代表性就好；反之，如果标准差较大，数据比较分散，均数的代表性就差。例如，数据集$\{3, 3, 3, 3, 3\}$，其均值为$3$，标准差$s=\sqrt{\frac{(3 - 3)^{2}+(3 - 3)^{2}+(3 - 3)^{2}+(3 - 3)^{2}+(3 - 3)^{2}}{5}} = 0$，均数$3$能很好地代表这组数据；而数据集$\{1, 2, 3, 4, 5\}$标准差为$\sqrt{2}$，均数$3$的代表性相对就没那么好，所以选项C正确。
• 选项D：
  标准差是可以小于算术均数的。例如，数据集$\{1, 1, 1, 1, 1\}$，其算术均数$\bar{x}=\frac{1+1+1+1+1}{5}=1$，标准差$s=\sqrt{\frac{(1 - 1)^{2}+(1 - 1)^{2}+(1 - 1)^{2}+(1 - 1)^{2}+(1 - 1)^{2}}{5}} = 0$，$0\lt{}1$，所以选项D错误。
• 选项E：
  标准差适用于正态分布和近似正态分布的数据。在正态分布中，标准差与数据的分布形态密切相关，约$68\%$的数据落在均值$\pm1$个标准差范围内，约$95\%$的数据落在均值$\pm2$个标准差范围内，约$99.7\%$的数据落在均值$\pm3$个标准差范围内，对于近似正态分布的数据也有类似的性质，所以选项E正确。