7.填空题假定顾客到达某个银行的的数量服从泊松分布，λ为3，问：恰有4位顾客到达银行的概率第1空：
题目解答
答案
题目分析
根据题意，顾客到达某个银行的数量 $X$ 服从泊松分布，且参数 $\lambda = 3$。我们需要求恰有 4 位顾客到达银行的概率，即求 $P(X = 4)$。
泊松分布公式
泊松分布的概率质量函数（分布律）公式为：
$P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \quad (k = 0, 1, 2, \cdots)$
其中：
- $\lambda = 3$
- $k = 4$ （恰有 4 位顾客）
计算过程
将已知数值代入公式中：
$P(X = 4) = \frac{3^4}{4!} e^{-3}$
分别计算分子和分母：
- $3^4 = 81$
- $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
所以：
$P(X = 4) = \frac{81}{24} e^{-3}$
对分数 $\frac{81}{24}$ 进行约分（分子分母同时除以 3）：
$\frac{81}{24} = \frac{27}{8}$
因此，恰有 4 位顾客到达银行的概率为：
$P(X = 4) = \frac{27}{8} e^{-3}$
（如果需要小数近似值，约为 $0.1680$）
最终答案
第 1 空应填入： $\frac{27}{8}e^{-3}$ （或写为 $3.375e^{-3}$）
解析
本题考查泊松分布的概率计算。解题思路是先明确题目中给出的泊松分布参数，再根据泊松分布的概率质量函数公式，将相应参数代入公式进行计算。
已知顾客到达银行的数量$X$服从泊松分布，参数$\lambda = 3$，要求恰有$4$位顾客到达银行的概率，即求$P(X = 4)$。
泊松分布的概率质量函数公式为$P(X = k)=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}$，其中$k = 0,1,2,\cdots$。
将$\lambda = 3$，$k = 4$代入公式可得：
$P(X = 4)=\frac{3^{4}}{4!}e^{-3}$
计算分子$3^{4}=3\times3\times3\times3 = 81$；
计算分母$4!=4\times3\times2\times1 = 24$。
则$P(X = 4)=\frac{81}{24}e^{-3}$，对$\frac{81}{24}$进行约分，分子分母同时除以$3$，$\frac{81\div3}{24\div3}=\frac{27}{8}$。
所以$P(X = 4)=\frac{27}{8}e^{-3}$，若写成小数形式$\frac{27}{8}=3.375$，即$3.375e^{-3}$。