题目

输油管的直径 d = 150mm，流量 Q = 16.3m^3/h，油的运动粘度 gamma = 0.2cm^2/s，试求：(1) 管道内流体的平均流速；(2) 判别管道内流体的流态；(3) 试求每千米的沿程水头损失。

输油管的直径 $d = 150mm$，流量 $Q = 16.3m^3/h$，油的运动粘度 $\gamma = 0.2cm^2/s$，试求：
(1) 管道内流体的平均流速；
(2) 判别管道内流体的流态；
(3) 试求每千米的沿程水头损失。

题目解答

答案

1. 根据 $ v = \frac{4Q}{\pi d^2} $，可得： \[ v = \frac{4 \times 0.0045278}{\pi \times 0.15^2} \approx 0.256 \, \text{m/s} \] 2. 雷诺数计算： \[ \text{Re} = \frac{vd}{\nu} = \frac{0.256 \times 0.15}{2 \times 10^{-5}} = 1920 < 2000 \] 故流态为层流。 3. 沿程阻力系数： \[ \lambda = \frac{64}{\text{Re}} = \frac{64}{1920} = 0.0333 \] 每千米沿程水头损失： \[ h_f = \lambda \frac{L}{d} \frac{v^2}{2g} = 0.0333 \times \frac{1000}{0.15} \times \frac{0.256^2}{2 \times 9.81} \approx 0.742 \, \text{m} \] 综上： 1. 平均流速 $ v \approx 0.256 \, \text{m/s} $； 2. 流态为层流； 3. 每千米沿程水头损失 $ h_f \approx 0.742 \, \text{m} $。

解析

本题主要考查流体力学中平均流速、流态判别以及沿程水头损失的计算。解题思路如下：

  1. 计算管道内流体的平均流速：
    • 已知流量公式$Q = vA$（其中$Q$为流量，$v$为平均流速，$A$为管道横截面积），管道横截面积$A=\frac{\pi d^{2}}{4}$（$d$为管道直径），则可推导出$v = \frac{4Q}{\pi d^{2}}$。
    • 题目中流量$Q = 16.3m^{3}/h$，需要将其单位换算为$m^{3}/s$，因为$1h = 3600s$，所以$Q=\frac{16.3}{3600}\approx0.0045278m^{3}/s$，管道直径$d = 150mm = 0.15m$。
    • 将$Q = 0.0045278m^{3}/s$，$d = 0.15m$代入$v = \frac{4Q}{\pi d^{2}}$可得：
      $\begin{align*} v&=\frac{4\times0.0045278}{\pi\times0.15^{2}}\\ &=\frac{0.0181112}{\pi\times0.0225}\\ &\approx\frac{0.0181112}{0.070686}\\ &\approx0.256m/s \end{align*}$
  2. 判别管道内流体的流态：
    • 流态的判别依据是雷诺数$Re$，雷诺数的计算公式为$Re=\frac{vd}{\nu}$（其中$v$为平均流速，$d$为管道直径，$\nu$为运动粘度）。
    • 已知油的运动粘度$\gamma = 0.2cm^{2}/s$，需要将其单位换算为$m^{2}/s$，因为$1cm = 0.01m$，所以$\nu = 0.2\times(0.01)^{2}=2\times10^{-5}m^{2}/s$，$v = 0.256m/s$，$d = 0.15m$。
    • 将$v = 0.256m/s$，$d = 0.15m$，$\nu = 2\times10^{-5}m^{2}/s$代入$Re=\frac{vd}{\nu}$可得：
      $\begin{align*} Re&=\frac{0.256\times0.15}{2\times10^{-5}}\\ &=\frac{0.0384}{2\times10^{-5}}\\ &=\frac{0.0384}{0.00002}\\ &= 1920 \end{align*}$
    • 当$Re\lt{}2000$时，流体为层流；当$Re\gt{}4000$时，流体为紊流；当$2000\leq Re\leq4000$时，流体处于过渡流。因为$Re = 1920\lt{}2000$，所以流态为层流。
  3. 计算每千米的沿程水头损失：
    • 对于层流，沿程阻力系数$\lambda$的计算公式为$\lambda=\frac{64}{Re}$。
    • 已知$Re = 1920$，将其代入$\lambda=\frac{64}{Re}$可得：
      $\lambda=\frac{64}{1920}=\frac{1}{30}\approx0.0333$
    • 沿程水头损失的计算公式为$h_f=\lambda\frac{L}{d}\frac{v^{2}}{2g}$（其中$h_f$为沿程水头损失，$\lambda$为沿程阻力系数，$L$为管道长度，$d$为管道直径，$v$为平均流速，$g$为重力加速度，取$g = 9.81m/s^{2}$）。
    • 要求每千米的沿程水头损失，即$L = 1000m$，$\lambda = 0.0333$，$d = 0.15m$，$v = 0.256m/s$，$g = 9.81m/s^{2}$，代入$h_f=\lambda\frac{L}{d}\frac{v^{2}}{2g}$可得：
      $\begin{align*} h_f&=0.0333\times\frac{1000}{0.15}\times\frac{0.256^{2}}{2\times9.81}\\ &=0.0333\times\frac{1000}{0.15}\times\frac{0.065536}{19.62}\\ &=0.0333\times\frac{1000}{0.15}\times0.00334\\ &=\frac{33.3}{0.15}\times0.00334\\ &=222\times0.00334\\ &\approx0.742m \end{align*}$