题目
24/35 判断题（2分）若f'(x_(0))=0，则x_(0)一定是函数f(x)的极值点。（）正确错误
24/35 判断题（2分）
若$f'(x_{0})=0$，则$x_{0}$一定是函数$f(x)$的极值点。（）
正确
错误
题目解答
答案
函数 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处导数 $ f'(x_0) = 0 $，仅表示 $ x_0 $ 是一个驻点。然而，驻点不一定是极值点。例如，对于函数 $ f(x) = x^3 $，有 $ f'(x) = 3x^2 $，且 $ f'(0) = 0 $，但 $ x = 0 $ 不是极值点，因为 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 附近单调递增。因此，$ f'(x_0) = 0 $ 不足以保证 $ x_0 $ 是极值点。
答案：错误
解析
本题考查函数极值点与导数的关系。解题思路是明确函数极值点的判定条件，即仅导数为$0$不能确定该点就是极值点，需要结合函数在该点两侧的单调性来判断，通过举反例的方式来验证该命题的正确性。
对于函数$y = f(x)$，若$f^\prime(x_0)=0$，$x_0$是函数的驻点，但驻点不一定是极值点。
我们以函数$f(x)=x^3$为例进行说明：
- 首先，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，对$f(x)=x^3$求导，可得$f^\prime(x)=(x^3)^\prime = 3x^2$。
- 然后，令$x_0 = 0$，将其代入$f^\prime(x)$中，得到$f^\prime(0)=3\times0^2 = 0$，这说明$x = 0$是函数$f(x)=x^3$的驻点。
- 接着，分析函数$f(x)=x^3$的单调性。当$x\lt0$时，$f^\prime(x)=3x^2\gt0$，根据导数与函数单调性的关系，当导数大于$0$时，函数单调递增，所以$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递增；当$x\gt0$时，$f^\prime(x)=3x^2\gt0$，所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上也单调递增。这表明函数$f(x)=x^3$在$x = 0$两侧都是单调递增的，不满足极值点的定义（极值点处函数在该点两侧单调性相反），所以$x = 0$不是函数$f(x)=x^3$的极值点。
由此可见，若$f^\prime(x_0)=0$，$x_0$不一定是函数$f(x)$的极值点，该命题错误。