题目

简答题(20.0分)-|||-(20分)设某次考试成绩 sim N(mu ,(sigma )^2), 现在随机地抽查了16名学生的成绩作为样-|||-本,并算得样本均值为 overline (x)=75.1, 样本标准差为 =8.0, 求μ的置信水平为95%的置-|||-信区间。(附: _(0.025)(15)=2.13 é

题目解答

答案

解析

本题考查正态总体均值在方差未知时的置信区间的求解。解题思路如下：

  1. 首先明确已知条件，本题中总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，样本容量$n = 16$，样本均值$\overline{x}=75.1$，样本标准差$S = 8.0$，置信水平为$95\%$，即$1 - \alpha=0.95$，由此可算出$\alpha = 0.05$，$\frac{\alpha}{2}=0.025$，自由度$n - 1=15$。
  2. 当总体方差$\sigma^{2}$未知时，总体均值$\mu$的置信水平为$1-\alpha$的置信区间为$(\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}})$，这里$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$是自由度为$n - 1$的$t$分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位点。
  3. 已知$t_{0.025}(15)=2.13$，$\overline{x}=75.1$，$S = 8.0$，$n = 16$，$\sqrt{n}=4$，将这些值代入上述置信区间公式进行计算。
    • 先计算$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}$的值：
      根据公式$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}$，把$t_{0.025}(15)=2.13$，$S = 8.0$，$\sqrt{n}=4$代入可得：
      $t_{0.025}(15)\frac{S}{\sqrt{n}}=2.13\times\frac{8}{4}$
      $=2.13\times2$
      $= 4.26$
    • 再计算置信区间：
      下限为$\overline{x}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}=75.1-4.26 = 70.84$；
      上限为$\overline{x}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}=75.1 + 4.26=79.36$。