1.随机地取8只活塞环,测得它们的直径分别为(单位:mm)-|||-74.001-|||-74.005-|||-74.003 74.001-|||-73.998-|||-74.006 74.002-|||-74.000-|||-试求总体均值μ及方差σ^2的矩估计值,并求样本方差s^2.

本题考查矩估计法求总体均值和方差的估计值，以及样本方差的计算。解题思路如下：

1. 求总体均值$\mu$的矩估计值$\hat{\mu}$：
   • 根据矩估计法，总体均值$\mu$的矩估计值$\hat{\mu}$等于样本均值$\overline{x}$。
   • 样本均值$\overline{x}$的计算公式为$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$，其中$n$是样本容量，$x_{i}$是第$i$个样本值。
   • 已知$n = 8$，$x_1 = 74.001$，$x_2 = 74.005$，$x_3 = 74.003$，$x_4 = 74.001$，$x_5 = 73.998$，$x_6 = 74.006$，$x_7 = 74.002$，$x_8 = 74.000$。
   • 先计算$\sum_{i = 1}^{8}x_{i}=74.001 + 74.005 + 74.003 + 74.001 + 73.998 + 74.006 + 74.002 + 74.000$
     $=74\times8+(0.001 + 0.005 + 0.003 + 0.001 - 0.002 + 0.006 + 0.002 + 0.000)$
     $=592+0.016 = 592.016$。
   • 再计算样本均值$\overline{x}=\frac{1}{8}\sum_{i = 1}^{8}x_{i}=\frac{592.016}{8}=74.002$，所以总体均值$\mu$的矩估计值$\hat{\mu}=74.002$。
2. 求总体方差$\sigma^2$的矩估计值$\hat{\sigma}^2$：
   • 根据矩估计法，总体方差$\sigma^2$的矩估计值$\hat{\sigma}^2$等于$\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^2$。
   • 分别计算$(x_{i}-\overline{x})^2$的值：
     • $(74.001 - 74.002)^2=(-0.001)^2 = 1\times10^{-6}$；
     • $(74.005 - 74.002)^2=(0.003)^2 = 9\times10^{-6}$；
     • $(74.003 - 74.002)^2=(0.001)^2 = 1\times10^{-6}$；
     • $(74.001 - 74.002)^2=(-0.001)^2 = 1\times10^{-6}$；
     • $(73.998 - 74.002)^2=(-0.004)^2 = 16\times10^{-6}$；
     • $(74.006 - 74.002)^2=(0.004)^2 = 16\times10^{-6}$；
     • $(74.002 - 74.002)^2=(0)^2 = 0\times10^{-6}$；
     • $(74.000 - 74.002)^2=(-0.002)^2 = 4\times10^{-6}$。
   • 则$\sum_{i = 1}^{8}(x_{i}-\overline{x})^2=(1 + 9 + 1 + 1 + 16 + 16 + 0 + 4)\times10^{-6}=48\times10^{-6}$。
   • 所以总体方差$\sigma^2$的矩估计值$\hat{\sigma}^2=\frac{1}{8}\sum_{i = 1}^{8}(x_{i}-\overline{x})^2=\frac{48\times10^{-6}}{8}=6\times10^{-6}$。
3. 求样本方差$s^2$：
   • 样本方差$s^2$的计算公式为$s^2=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^2$。
   • 由前面计算可知$\sum_{i = 1}^{8}(x_{i}-\overline{x})^2 = 48\times10^{-6}$，$n = 8$。
   • 则$s^2=\frac{1}{8 - 1}\sum_{i = 1}^{8}(x_{i}-\overline{x})^2=\frac{48\times10^{-6}}{7}\approx6.86\times10^{-6}$。