单选题(10.0分)-|||-4.半径为R的不均匀带电球体,电荷体密度分布为-|||-=A(F)_(1), 式中r为离球心的距离 (rleqslant R), A为一常数,则球-|||-体上的总电量 = (_)()-|||-A πAR^4-|||-B AπR^2-|||-C AπR^3-|||-D dfrac (4)(3)Acap (R)^4

本题考查利用积分计算不均匀带电体的总电量，解题思路是通过选取合适的体积元，根据电荷体密度与体积元的乘积得到该体积元所带电量，再对整个球体进行积分从而求出总电量。

1. 选取体积元：
   对于球体，我们选取半径为 $r$，厚度为 $dr$ 的薄球壳作为体积元 $dV$。根据球体体积公式，薄球壳的体积 $dV = 4\pi r^{2}dr$。这里 $4\pi r^{2}$ 是半径为 $r$ 的球的表面积，$dr$ 是薄球壳的厚度，二者相乘得到薄球壳的体积。
2. 计算体积元所带电量：
   已知电荷体密度分布为 $\rho = Ar$，根据 $dQ=\rho dV$，将 $dV = 4\pi r^{2}dr$ 和 $\rho = Ar$ 代入可得：
   $dQ=\rho dV=Ar\times4\pi r^{2}dr = 4\pi Ar^{3}dr$。
3. 计算球体总电量：
   对 $dQ$ 从 $r = 0$ 到 $r = R$ 进行积分，可得到球体上的总电量 $Q$，即：
   $Q=\int_{0}^{R}dQ=\int_{0}^{R}4\pi Ar^{3}dr$。
   根据积分公式 $\int x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C$（$n\neq - 1$），对 $4\pi Ar^{3}$ 积分可得：
   $Q = 4\pi A\int_{0}^{R}r^{3}dr=4\pi A\times\left[\frac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{R}$。
   先计算 $\left[\frac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{R}=\frac{1}{4}R^{4}-\frac{1}{4}\times0^{4}=\frac{1}{4}R^{4}$。
   再将其代入上式可得 $Q = 4\pi A\times\frac{1}{4}R^{4}=\pi AR^{4}$。