题目
在不确定度传播中，若 y=x_1+x_2，则 y 的不确定度 u_y 应如何计算？A u_y=u_(x_1)cdot u_(x_2)B u_y=sqrt(u_(x_1)^2+u_{x_2)^2}C u_y=u_(x_1)+u_(x_2)D u_y=u_(x_1)/u_(x_2)
在不确定度传播中，若 $y=x_1+x_2$，则 $y$ 的不确定度 $u_y$ 应如何计算？
A $u_y=u_{x_1}\cdot u_{x_2}$
B $u_y=\sqrt{u_{x_1}^2+u_{x_2}^2}$
C $u_y=u_{x_1}+u_{x_2}$
D $u_y=u_{x_1}/u_{x_2}$
题目解答
答案
根据不确定度传播定律，当 $ y = x_1 + x_2 $ 时，$ y $ 的不确定度 $ u_y $ 可以通过以下公式计算：
\[
u_y = \sqrt{\left( \frac{\partial y}{\partial x_1} u_{x_1} \right)^2 + \left( \frac{\partial y}{\partial x_2} u_{x_2} \right)^2}
\]
由于 $ y = x_1 + x_2 $，则 $ \frac{\partial y}{\partial x_1} = 1 $，$ \frac{\partial y}{\partial x_2} = 1 $。将这些值代入公式，得：
\[
u_y = \sqrt{(1 \cdot u_{x_1})^2 + (1 \cdot u_{x_2})^2} = \sqrt{u_{x_1}^2 + u_{x_2}^2}
\]
因此，正确答案是：
\[
u_y = \sqrt{u_{x_1}^2 + u_{x_2}^2}
\]
选项 B 正确。
答案：B. $ u_y = \sqrt{u_{x_1}^2 + u_{x_2}^2} $
解析
本题考查不确定度传播定律的应用。解题思路是先明确不确定度传播定律的通用公式，再根据题目所给的函数关系求出偏导数，最后将偏导数代入通用公式计算出$y$的不确定度。
- 不确定度传播定律的通用公式为：对于函数$y = f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，其不确定度$u_y$的计算公式为$u_y = \sqrt{\left( \frac{\partial y}{\partial x_1} u_{x_1} \right)^2 + \left( \frac{\partial y}{\partial x_2} u_{x_2} \right)^2+\cdots+\left( \frac{\partial y}{\partial x_n} u_{x_n} \right)^2}$。
- 已知$y = x_1 + x_2$，求$y$对$x_1$和$x_2$的偏导数：
- 根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，常数的导数为$0$，对$y = x_1 + x_2$求关于$x_1$的偏导数，此时把$x_2$看作常数，则$\frac{\partial y}{\partial x_1}=\frac{\partial (x_1 + x_2)}{\partial x_1}=\frac{\partial x_1}{\partial x_1}+\frac{\partial x_2}{\partial x_1}=1 + 0 = 1$。
- 同理，对$y = x_1 + x_2$求关于$x_2$的偏导数，此时把$x_1$看作常数，则$\frac{\partial y}{\partial x_2}=\frac{\partial (x_1 + x_2)}{\partial x_2}=\frac{\partial x_1}{\partial x_2}+\frac{\partial x_2}{\partial x_2}=0 + 1 = 1$。
- 将$\frac{\partial y}{\partial x_1}=1$，$\frac{\partial y}{\partial x_2}=1$代入不确定度传播定律公式：
$u_y = \sqrt{\left( \frac{\partial y}{\partial x_1} u_{x_1} \right)^2 + \left( \frac{\partial y}{\partial x_2} u_{x_2} \right)^2}=\sqrt{(1\times u_{x_1})^2 + (1\times u_{x_2})^2}=\sqrt{u_{x_1}^2 + u_{x_2}^2}$