静电场的高斯定律表明:A. 电场的旋度为零B. 电场的散度与电荷密度成正比C. 电场的旋度与电流密度成正比D. 电场的散度为零

本题考查静电场的高斯定律以及电场散度和旋度的相关知识。解题思路是明确静电场高斯定律的数学表达式，再根据该表达式分析电场散度与电荷密度的关系，同时对各选项涉及的电场旋度等概念进行判断。

1. 明确静电场高斯定律的数学表达式

静电场的高斯定律的积分形式为$\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{enc}}{\epsilon_0}$，其中$\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}$是电场强度$\vec{E}$通过闭合曲面$S$的电通量，$Q_{enc}$是闭合曲面$S$所包围的总电荷量，$\epsilon_0$是真空介电常数。

2. 将积分形式转化为微分形式

根据高斯散度定理$\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\int_{V}\nabla\cdot\vec{E}dV$，其中$\nabla\cdot\vec{E}$是电场$\vec{E}$的散度，$V$是闭合曲面$S$所包围的体积。
结合静电场高斯定律的积分形式$\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{enc}}{\epsilon_0}$，可得$\int_{V}\nabla\cdot\vec{E}dV=\frac{Q_{enc}}{\epsilon_0}$。
又因为$Q_{enc}=\int_{V}\rho dV$，其中$\rho$是电荷密度。
所以$\int_{V}\nabla\cdot\vec{E}dV=\frac{1}{\epsilon_0}\int_{V}\rho dV$。
由于该等式对于任意体积$V$都成立，那么被积函数相等，即$\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$。
这表明电场的散度与电荷密度成正比。

3. 分析各选项

• 选项A：电场的旋度为零是静电场的另一个重要性质，即$\nabla\times\vec{E} = 0$，它是由静电场的保守性得出的，并非高斯定律的内容，所以A选项错误。
• 选项B：由前面的推导可知$\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$，电场的散度与电荷密度成正比，B选项正确。
• 选项C：电场的旋度与电流密度成正比是安培 - 麦克斯韦定律的内容，即$\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}$，与静电场的高斯定律无关，C选项错误。
• 选项D：只有在没有电荷分布的区域（$\rho = 0$），电场的散度才为零，而高斯定律表明电场散度与电荷密度有关，并非恒为零，D选项错误。