分组数据中,若各组变量值都增加2倍,每组次数都减少一半,则其标准差的数值将A. 增加2倍B. 不变C. 减少一半D. 无法判断

本题考查分组数据标准差的计算以及数据变化对标准差的影响。解题思路是先明确分组数据标准差的计算公式，再根据题目中变量值和次数的变化情况，推导出变化后的标准差与原标准差的关系。

设原分组数据中，第$i$组的变量值为$x_i$，次数为$f_i$，组数为$k$，总次数为$n=\sum_{i = 1}^{k}f_i$。

步骤一：计算原分组数据的标准差$\sigma$

原分组数据的均值$\overline{x}=\frac{\sum_{i = 1}^{k}x_if_i}{n}$。
根据标准差公式$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{k}f_i(x_i - \overline{x})^2}{n}}$。

步骤二：分析数据变化后的情况

已知各组变量值都增加$2$倍，即新的变量值$x_i' = 3x_i$；每组次数都减少一半，即新的次数$f_i'=\frac{1}{2}f_i$，新的总次数$n'=\sum_{i = 1}^{k}f_i'=\sum_{i = 1}^{k}\frac{1}{2}f_i=\frac{1}{2}n$。

步骤三：计算变化后数据的均值$\overline{x}'$

$\overline{x}'=\frac{\sum_{i = 1}^{k}x_i'f_i'}{n'}=\frac{\sum_{i = 1}^{k}(3x_i)\cdot(\frac{1}{2}f_i)}{\frac{1}{2}n}=\frac{\frac{3}{2}\sum_{i = 1}^{k}x_if_i}{\frac{1}{2}n}=3\cdot\frac{\sum_{i = 1}^{k}x_if_i}{n}=3\overline{x}$。

步骤四：计算变化后数据的标准差$\sigma'$

$\sigma'=\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{k}f_i'(x_i' - \overline{x}')^2}{n'}}=\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{k}\frac{1}{2}f_i(3x_i - 3\overline{x})^2}{\frac{1}{2}n}}$
$=\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{k}\frac{1}{2}f_i\cdot9(x_i - \overline{x})^2}{\frac{1}{2}n}}=\sqrt{\frac{9\sum_{i = 1}^{k}f_i(x_i - \overline{x})^2}{n}} = 3\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{k}f_i(x_i - \overline{x})^2}{n}}=3\sigma$。

这表明变化后的标准差是原标准差的$3$倍，即标准差增加了$2$倍。