题目

应用转鼓真空过滤机处理柠檬酸发酵液，已知发酵液柠檬酸含量为 86 mathrm(~Kg) / mathrm(m)^3，过滤面积 15 mathrm(~m)^2，转鼓转速 0.75 mathrm(r) / mathrm(min)，过滤压强降 0.08 mathrm(Mpa)，过滤介质阻力可忽略不计。滤饼属不可压缩的，其过滤常数为 8.5 times 10^5 mathrm(~m)^2 / mathrm(m)^2。滤饼洗涤收率为 60%，过滤结束时滞留在滤饼的滤液占 7%，工艺要求通过洗涤把滞留于滤饼上的柠檬酸洗出 90%。求：处理量为 2.5 mathrm(~m)^3 / mathrm(h) 时，过滤机回转一周的过滤时间和洗涤时间。

应用转鼓真空过滤机处理柠檬酸发酵液，已知发酵液柠檬酸含量为 $86 \mathrm{~Kg} / \mathrm{m}^3$，过滤面积 $15 \mathrm{~m}^2$，转鼓转速 $0.75 \mathrm{r} / \mathrm{min}$，过滤压强降 $0.08 \mathrm{Mpa}$，过滤介质阻力可忽略不计。滤饼属不可压缩的，其过滤常数为 $8.5 \times 10^{5} \mathrm{~m}^2 / \mathrm{m}^2$。滤饼洗涤收率为 $60\%$，过滤结束时滞留在滤饼的滤液占 $7\%$，工艺要求通过洗涤把滞留于滤饼上的柠檬酸洗出 $90\%$。求：处理量为 $2.5 \mathrm{~m}^3 / \mathrm{h}$ 时，过滤机回转一周的过滤时间和洗涤时间。

题目解答

答案

根据题目条件，求解转鼓真空过滤机每转一周的过滤时间与洗涤时间，核心步骤如下：

1. 确定每转滤液体积

处理量 $ Q = 2.5 \, \text{m}^3/\text{h} $，转速 $ n = 0.75 \, \text{r/min} = 45 \, \text{r/h} $，
则每转滤液体积：
$V = \frac{Q}{n} = \frac{2.5}{45} = 0.0556 \, \text{m}^3$

2. 计算过滤时间

由不可压缩滤饼、忽略介质阻力的恒压过滤方程 $ V^2 = K A^2 t $，
其中 $ K = \frac{1}{8.5 \times 10^5} = 1.176 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s} $，$ A = 15 \, \text{m}^2 $，
代入得：
$t = \frac{V^2}{K A^2} = \frac{(0.0556)^2}{1.176 \times 10^{-6} \times 225} \approx 11.7 \, \text{s}$

3. 计算洗涤时间

  • 滤饼残留滤液量：$ V_{\text{res}} = 0.07 \times V = 0.003892 \, \text{m}^3 $
  • 需洗出柠檬酸质量：$ m_{\text{washed}} = 0.9 \times 86 \times V_{\text{res}} = 0.3012 \, \text{kg} $
  • 洗涤收率60%，故所需洗涤液体积：
    $V_w = \frac{0.3012}{0.6 \times 86} \approx 0.005837 \, \text{m}^3$
  • 洗涤速率取过滤结束时刻瞬时速率：
    $\left. \frac{dV}{dt} \right|_{t} = \frac{A \sqrt{K}}{2 \sqrt{t}} \approx 0.00238 \, \text{m}^3/\text{s}$
  • 洗涤时间：
    $t_w = \frac{V_w}{\left. \frac{dV}{dt} \right|_{t}} \approx \frac{0.005837}{0.00238} \approx 2.45 \, \text{s}$

最终结果：

  • 过滤时间约为 11.7 秒；
  • 洗涤时间约为 2.45 秒。

解析

本题主要考察转鼓真空过滤机的过滤时间和洗涤时间的计算，涉及到过滤基本方程、物料衡算以及洗涤速率的计算。解题思路如下：

  1. 计算每转滤液体积：根据处理量和转鼓转速，可直接计算出转鼓每旋转一周所处理的滤液体积。
  2. 计算过滤时间：由于滤饼不可压缩且过滤介质阻力可忽略不计，可使用恒压过滤方程 $V^2 = K A^2 t$ 来计算过滤时间，其中 $K$ 为过滤常数，$A$ 为过滤面积，$V$ 为每转滤液体积。
  3. 计算洗涤时间：
    • 先根据过滤结束时滞留在滤饼的滤液占比计算出滤饼残留滤液量。
    • 再根据工艺要求洗出柠檬酸的比例和发酵液中柠檬酸的含量，计算出需要洗出的柠檬酸质量。
    • 结合洗涤收率，计算出所需洗涤液体积。
    • 取过滤结束时刻的瞬时过滤速率作为洗涤速率，最后根据洗涤液体积和洗涤速率计算出洗涤时间。

详细计算过程

  1. 计算每转滤液体积
    已知处理量 $Q = 2.5 \, \text{m}^3/\text{h}$，转鼓转速 $n = 0.75 \, \text{r/min}$，将转速单位换算为 $\text{r/h}$，可得 $n = 0.75 \times 60 = 45 \, \text{r/h}$。
    根据每转滤液体积的计算公式 $V = \frac{Q}{n}$，代入数据可得：
    $V = \frac{2.5}{45} \approx 0.0556 \, \text{m}^3$
  2. 计算过滤时间
    已知过滤常数 $K = \frac{1}{8.5 \times 10^5} \, \text{m}^2/\text{s}$，过滤面积 $A = 15 \, \text{m}^2$，每转滤液体积 $V = 0.0556 \, \text{m}^3$。
    由恒压过滤方程 $V^2 = K A^2 t$，可得过滤时间 $t$ 的计算公式为 $t = \frac{V^2}{K A^2}$。
    将数据代入公式可得：
    $\begin{align*}t&=\frac{(0.0556)^2}{ \frac{1}{8.5 \times 10^5} \times 15^2}\\&=\frac{0.00309136}{ \frac{225}{8.5 \times 10^5}}\\&=\frac{0.00309136 \times 8.5 \times 10^5}{225}\\&\approx 11.7 \, \text{s}\end{align*}$
  3. 计算洗涤时间
    • 计算滤饼残留滤液量：
      已知过滤结束时滞留在滤饼的滤液占 $7\%$，则滤饼残留滤液量 $V_{\text{res}}$ 为：
      $V_{\text{res}} = 0.07 \times V = 0.07 \times 0.0556 = 0.003892 \, \text{m}^3$
    • 计算需要洗出的柠檬酸质量：
      已知发酵液柠檬酸含量为 $86 \, \text{Kg/m}^3$，工艺要求洗出滞留于滤饼上柠檬酸的 $90\%$，则需要洗出的柠檬酸质量 $m_{\text{washed}}$ 为：
      $m_{\text{washed}} = 0.9 \times 86 \times V_{\text{res}} = 0.9 \times 86 \times 0.003892 \approx 0.3012 \, \text{kg}$
    • 计算所需洗涤液体积：
      已知滤饼洗涤收率为 $60\%$，则所需洗涤液体积 $V_w$ 为：
      $V_w = \frac{m_{\text{washed}}}{0.6 \times 86} = \frac{0.3012}{0.6 \times 86} \approx 0.005837 \, \text{m}^3$
    • 计算洗涤速率：
      过滤结束时刻的瞬时过滤速率公式为 $\left. \frac{dV}{dt} \right|_{t} = \frac{A \sqrt{K}}{2 \sqrt{t}}$，将 $A = 15 \, \text{m}^2$，$K = \frac{1}{8.5 \times 10^5} \, \text{m}^2/\text{s}$，$t = 11.7 \, \text{s}$ 代入可得：
      $\begin{align*}\left. \frac{dV}{dt} \right|_{t}&=\frac{15 \times \sqrt{\frac{1}{8.5 \times 10^5}}}{2 \times \sqrt{11.7}}\\&\approx 0.00238 \, \text{m}^3/\text{s}\end{align*}$
    • 计算洗涤时间：
      根据洗涤时间的计算公式 $t_w = \frac{V_w}{\left. \frac{dV}{dt} \right|_{t}}$，将 $V_w = 0.005837 \, \text{m}^3$，$\left. \frac{dV}{dt} \right|_{t} \approx 0.00238 \, \text{m}^3/\text{s}$ 代入可得：
      $t_w = \frac{0.005837}{0.00238} \approx 2.45 \, \text{s}$