题目
3.求下列函数在 x=1 处的泰勒展开式:-|||-(1) (x)=3+2x-4(x)^2+7(x)^3; (2) (x)=dfrac (1)(x); (3) (x)=sqrt ({x)^3}.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算函数 $f(x)=3+2x-4{x}^{2}+7{x}^{3}$ 在 x=1 处的各阶导数值
$f(1)=3+2(1)-4(1)^{2}+7(1)^{3}=8$
$f'(x)=2-8x+21x^{2}$, $f'(1)=2-8(1)+21(1)^{2}=15$
$f''(x)=-8+42x$, $f''(1)=-8+42(1)=34$
$f'''(x)=42$, $f'''(1)=42$
$f^{(n)}(1)=0$ (n≥4)
步骤 2：根据泰勒展开式公式计算
$f(x)=f(1)+\dfrac {f'(1)}{1!}(x-1)+\dfrac {f''(1)}{2!}{(x-1)}^{2}+\dfrac {f'''(1)}{3!}{(x-1)}^{3}$
步骤 3：将计算结果代入公式
$f(x)=8+15(x-1)+17{(x-1)}^{2}+7{(x-1)}^{3}$
步骤 4：计算函数 $f(x)=\dfrac {1}{x}$ 在 x=1 处的泰勒展开式
$f(x)=\dfrac {1}{1+(x-1)}=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{(x-1)}^{n}$
步骤 5：计算函数 $f(x)=\sqrt {{x}^{3}}$ 在 x=1 处的泰勒展开式
$f(x)=\sqrt {{x}^{3}}={(1+x-1)}^{\dfrac {3}{2}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{C}_{\dfrac {3}{2}}^{n}{(x-1)}^{n}$
$f(1)=3+2(1)-4(1)^{2}+7(1)^{3}=8$
$f'(x)=2-8x+21x^{2}$, $f'(1)=2-8(1)+21(1)^{2}=15$
$f''(x)=-8+42x$, $f''(1)=-8+42(1)=34$
$f'''(x)=42$, $f'''(1)=42$
$f^{(n)}(1)=0$ (n≥4)
步骤 2：根据泰勒展开式公式计算
$f(x)=f(1)+\dfrac {f'(1)}{1!}(x-1)+\dfrac {f''(1)}{2!}{(x-1)}^{2}+\dfrac {f'''(1)}{3!}{(x-1)}^{3}$
步骤 3：将计算结果代入公式
$f(x)=8+15(x-1)+17{(x-1)}^{2}+7{(x-1)}^{3}$
步骤 4：计算函数 $f(x)=\dfrac {1}{x}$ 在 x=1 处的泰勒展开式
$f(x)=\dfrac {1}{1+(x-1)}=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{(x-1)}^{n}$
步骤 5：计算函数 $f(x)=\sqrt {{x}^{3}}$ 在 x=1 处的泰勒展开式
$f(x)=\sqrt {{x}^{3}}={(1+x-1)}^{\dfrac {3}{2}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{C}_{\dfrac {3}{2}}^{n}{(x-1)}^{n}$