设 X sim N(mu, sigma^2)，则下列叙述中错误的是（ ）A. P(a B. F(x) = Phi((x-mu)/(sigma))C. P(|X-mu| le ksigma) = 2Phi(k)-1D. (X-mu)/(sigma^2) sim N(0,1)

本题考查正态分布的性质、概率计算以及标准化变换等知识点。解题的关键在于熟练掌握正态分布的标准化公式以及相关概率的计算方法，通过对每个选项逐一分析来判断其正确性。

选项A

已知$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，若要计算$P(a \lt X \leq b)$，我们进行标准化变换。
令$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，则$Z \sim N(0, 1)$。
那么$P(a \lt X \leq b)=P\left(\frac{a - \mu}{\sigma} \lt \frac{X - \mu}{\sigma} \leq \frac{b - \mu}{\sigma}\right)=P\left(\frac{a - \mu}{\sigma} \lt Z \leq \frac{b - \mu}{\sigma}\right)$。
根据标准正态分布的性质，$P\left(\frac{a - \mu}{\sigma} \lt Z \leq \frac{b - \mu}{\sigma}\right)=\varPhi\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right) - \varPhi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)$，所以选项A正确。

选项B

正态分布$X \sim N(\mu, \sigma^2)$的累积分布函数$F(x)=P(X \leq x)$。
同样进行标准化变换，令$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，则$F(x)=P(X \leq x)=P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} \leq \frac{x - \mu}{\sigma}\right)=P\left(Z \leq \frac{x - \mu}{\sigma}\right)$。
而标准正态分布的累积分布函数为$\varPhi(z)$，所以$F(x)=\varPhi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$，选项B正确。

选项C

计算$P(|X - \mu| \leq k\sigma)$，根据绝对值不等式的性质可得$P(|X - \mu| \leq k\sigma)=P(-k\sigma \leq X - \mu \leq k\sigma)$。
不等式两边同时除以$\sigma$，得到$P(-k\sigma \leq X - \mu \leq k\sigma)=P(-k \leq \frac{X - \mu}{\sigma} \leq k)$。
令$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，则$Z \sim N(0, 1)$，所以$P(-k \leq \frac{X - \mu}{\sigma} \leq k)=P(-k \leq Z \leq k)$。
根据标准正态分布的对称性，$P(-k \leq Z \leq k)=\varPhi(k) - \varPhi(-k)$，又因为$\varPhi(-k)=1 - \varPhi(k)$，所以$P(-k \leq Z \leq k)=\varPhi(k) - (1 - \varPhi(k))=2\varPhi(k) - 1$，选项C正确。

选项D

对于正态分布$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其标准化形式为$\frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$。
而$\frac{X - \mu}{\sigma^2}$并不服从标准正态分布$N(0, 1)$，因为$D(\frac{X - \mu}{\sigma^2})=\frac{1}{\sigma^4}D(X)=\frac{1}{\sigma^4}\times\sigma^2=\frac{1}{\sigma^2}\neq1$，所以选项D错误。