以下关于正态分布特征的描述,不正确的是()A. 正态分布曲线下面积分布有一定规律B. 正态分布曲线拐点在X=μ±1.64σC. 正态分布曲线均在横轴上方,在μ处最高D. 有两个参数:σ和μE. 左右对称分布

本题考查正态分布的特征相关知识点。解题思路是依次分析每个选项所描述的内容是否符合正态分布的特征。

• 选项A：
  正态分布曲线下面积分布有一定规律，整个曲线下的总面积为$1$，且在不同区间的面积可以通过标准正态分布表等方法计算得出，例如$\mu\pm\sigma$区间内的面积约为$68.27\%$，$\mu\pm1.96\sigma$区间内的面积约为$95\%$，$\mu\pm2.58\sigma$区间内的面积约为$99\%$。所以该选项描述正确。
• 选项B：
  对于正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，其概率密度函数为$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$。
  对$f(x)$求二阶导数，先求一阶导数$f^\prime(x)$：
  根据复合函数求导法则$(e^{u})^\prime = e^{u}\cdot u^\prime$，令$u = -\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}$，则$u^\prime=-\frac{2(x - \mu)}{2\sigma^{2}}=-\frac{x - \mu}{\sigma^{2}}$。
  所以$f^\prime(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\cdot(-\frac{x - \mu}{\sigma^{2}})$。
  再求二阶导数$f^{\prime\prime}(x)$：
  根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v+uv^\prime$，其中$u = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$，$v = -\frac{x - \mu}{\sigma^{2}}$。
  $u^\prime=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\cdot(-\frac{x - \mu}{\sigma^{2}})$，$v^\prime=-\frac{1}{\sigma^{2}}$。
  $f^{\prime\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\cdot(-\frac{1}{\sigma^{2}})+\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\cdot(-\frac{x - \mu}{\sigma^{2}})\cdot(-\frac{x - \mu}{\sigma^{2}})$
  $=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\cdot\frac{(x - \mu)^{2}- \sigma^{2}}{\sigma^{4}}$。
  令$f^{\prime\prime}(x)=0$，因为$e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\gt0$，$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\gt0$，$\frac{1}{\sigma^{4}}\gt0$，所以$(x - \mu)^{2}-\sigma^{2}=0$，即$(x - \mu)^{2}=\sigma^{2}$，解得$x=\mu\pm\sigma$。
  这表明正态分布曲线的拐点在$x = \mu\pm\sigma$处，而不是$x=\mu\pm1.64\sigma$，所以该选项描述错误。
• 选项C：
  由于正态分布的概率密度函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$，其中$e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\gt0$，$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\gt0$，所以$f(x)\gt0$，即正态分布曲线均在横轴上方。
  又因为当$x = \mu$时，$(x - \mu)^{2}=0$，此时$e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$取得最大值$1$，$f(x)$取得最大值$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$，所以曲线在$x = \mu$处最高。该选项描述正确。
• 选项D：
  正态分布由两个参数$\mu$（均值）和$\sigma$（标准差）确定，不同的$\mu$和$\sigma$对应不同的正态分布曲线，所以该选项描述正确。
• 选项E：
  正态分布的概率密度函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$满足$f(\mu + a)=f(\mu - a)$，即对于任意的$a$，$x=\mu + a$和$x=\mu - a$处的函数值相等，所以正态分布曲线是左右对称分布的，对称轴为$x = \mu$。该选项描述正确。