题目

多选题（共10题，40.0分）单题限时 01:5315.（4.0分）若随机变量x与y不相关，则下列选项正确的是（）。A D(X-Y)=D(X)+D(Y);B F(x,y)=F_(X)(x)F_(Y)(y);C cov(X,Y)=0;D E(XY)=E(X)E(Y).

多选题（共10题，40.0分） 单题限时 01:53 15.（4.0分）若随机变量x与y不相关，则下列选项正确的是（）。 A $D(X-Y)=D(X)+D(Y)$; B $F(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)$; C $cov(X,Y)=0$; D $E(XY)=E(X)E(Y)$.

题目解答

答案

答案：ACD

解析：

A. 方差性质
由方差公式 $D(X - Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{cov}(X, Y)$，且 $X$ 与 $Y$ 不相关（即 $\text{cov}(X, Y) = 0$），得 $D(X - Y) = D(X) + D(Y)$，选项A正确。

B. 独立性
不相关性仅意味着协方差为零，但不一定独立。独立性要求联合分布等于边际分布的乘积，即 $F(x, y) = F_X(x)F_Y(y)$，选项B错误。

C. 协方差
不相关定义即 $\text{cov}(X, Y) = 0$，选项C正确。

D. 期望性质
由协方差公式 $\text{cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$，且 $\text{cov}(X, Y) = 0$，得 $E(XY) = E(X)E(Y)$，选项D正确。

结论： 正确选项为ACD。
$\boxed{ACD}$

解析

本题主要考查随机变量不相关的性质以及方差、协方差、期望和独立性之间的关系。解题的关键在于理解不相关的定义以及相关公式的运用。

  1. 分析选项A：
    • 首先明确方差的性质公式：对于任意两个随机变量$X$和$Y$，有$D(X - Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{cov}(X, Y)$。
    • 已知随机变量$X$与$Y$不相关，根据不相关的定义可知$\text{cov}(X, Y) = 0$。
    • 将$\text{cov}(X, Y) = 0$代入方差公式$D(X - Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{cov}(X, Y)$中，可得$D(X - Y) = D(X) + D(Y) - 2\times0 = D(X) + D(Y)$，所以选项A正确。
  2. 分析选项B：
    • 随机变量$X$与$Y$不相关，仅仅意味着它们的协方差$\text{cov}(X, Y) = 0$。
    • 而随机变量$X$与$Y$相互独立的定义是联合分布函数$F(x, y)$等于边缘分布函数$F_X(x)$与$F_Y(y)$的乘积，即$F(x, y) = F_X(x)F_Y(y)$。
    • 不相关并不一定能推出相互独立，所以不能得出$F(x, y) = F_X(x)F_Y(y)$，选项B错误。
  3. 分析选项C：
    • 根据随机变量不相关的定义，若随机变量$X$与$Y$不相关，则它们的协方差$\text{cov}(X, Y) = 0$，所以选项C正确。
  4. 分析选项D：
    • 已知协方差的计算公式为$\text{cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$。
    • 因为$X$与$Y$不相关，即$\text{cov}(X, Y) = 0$，将其代入协方差公式可得$0 = E(XY) - E(X)E(Y)$。
    • 移项可得$E(XY) = E(X)E(Y)$，所以选项D正确。