题目

例 10-6 某点的应力状态如图 10-16a 所示,图中应力的单位为MPa。试求该点的主-|||-应力及最大切应力。-|||-20 y-|||-20-|||-40-|||-60-|||-⊙ x-|||-、40 σ"= 60-|||-(a) (b)-|||-(单位:MPa)-|||-图 10-16

题目解答

答案

解析

本题考查应力状态分析中主应力和最大切应力的计算。解题思路如下：

  1. 首先，根据题目所给应力状态图，发现有一个主应力是已知的，即$\sigma'' = 60\ MPa$。由于单元体上平行于$\sigma''$的截面上的应力值与$\sigma''$无关，所以可以将原应力状态简化为如图 10 - 16b 所示的平面应力状态来分析另外两个主应力。
  2. 对于平面应力状态，已知$\sigma_x = 0$，$\sigma_y = - 20\ MPa$，$\tau_{xy}=40\ MPa$。根据平面应力状态下主应力的计算公式$\sigma^{'}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2+\tau_{xy}^2}$来计算另外两个主应力$\sigma'$。
    • 计算$\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}$的值：
      将$\sigma_x = 0$，$\sigma_y = - 20\ MPa$代入$\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}$，可得$\frac{0+( - 20)}{2}=-10\ MPa$。
    • 计算$\sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2+\tau_{xy}^2}$的值：
      先计算$\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}$，将$\sigma_x = 0$，$\sigma_y = - 20\ MPa$代入可得$\frac{0-( - 20)}{2}=10\ MPa$。
      再将$\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}=10\ MPa$，$\tau_{xy}=40\ MPa$代入$\sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2+\tau_{xy}^2}$，可得$\sqrt{10^2 + 40^2}=\sqrt{100 + 1600}=\sqrt{1700}\approx41.23\ MPa$。
    • 计算主应力$\sigma'$：
      $\sigma'=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2+\tau_{xy}^2}=-10\pm41.23$，即$\sigma'_1=-10 + 41.23 = 31.23\ MPa$，$\sigma'_2=-10 - 41.23=-51.23\ MPa$。
  3. 然后，根据主应力的排列顺序$\sigma_1\geq\sigma_2\geq\sigma_3$，确定该点的三个主应力。已知$\sigma'' = 60\ MPa$，所以$\sigma_1=\sigma'' = 60\ MPa$，$\sigma_2=\sigma' = 31.23\ MPa$，$\sigma_3=\sigma''=-51.23\ MPa$。
  4. 最后，根据最大切应力公式$\tau_{max}=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}$计算该点的最大切应力。
    将$\sigma_1 = 60\ MPa$，$\sigma_3=-51.23\ MPa$代入$\tau_{max}=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}$，可得$\tau_{max}=\frac{60-( - 51.23)}{2}=\frac{60 + 51.23}{2}=55.6\ MPa$。