某工厂为了研究粉尘暴露对工人健康的影响，随机抽取了25名工人，测量了每位工人在过去一年中的粉尘暴露水平（单位：(mg/m)^3）。假设粉尘暴露水平服从正态分布，测量结果显示：- 样本均值为13.5,(mg/m)^3；- 样本标准差为4.0,(mg/m)^3。该工厂声称工人的粉尘暴露水平的总体均值为12,(mg/m)^3。要检验工厂的声称是否成立：(1) 写出原假设以及备择假设。(2) 写出对应的检验统计量。(3) 比较并得出结论(显著性水平alpha=0.05)。(t(0.025,24)approx2.064，t(0.05,24)approx1.711)

本题主要考察正态总体均值的假设检验，当总体方差未知时，使用t检验。解题思路如下：

1. 提出原假设和备择假设：根据题目中工厂声称的工人粉尘暴露水平总体均值，确定原假设和备择假设。原假设通常是我们想要检验是否成立的假设，备择假设则是原假设的对立情况。
2. 确定检验统计量：由于总体方差未知，样本来自正态分布，我们使用t检验统计量。其公式为$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$，其中$\bar{x}$是样本均值，$\mu_0$是原假设中的总体均值，$s$是样本标准差，$n$是样本容量。
3. 计算检验统计量的值：将题目中给出的样本均值$\bar{x}=13.5$，原假设总体均值$\mu_0 = 12$，样本标准差$s = 4$，样本容量$n = 25$代入t检验统计量公式进行计算。
4. 确定临界值并比较：根据显著性水平$\alpha = 0.05$和自由度$df=n - 1=25 - 1 = 24$，由于是双侧检验，所以查找$t(\frac{\alpha}{2},n - 1)=t(0.025,24)$的值。将计算得到的检验统计量的绝对值与临界值进行比较，若绝对值小于临界值，则不拒绝原假设；若绝对值大于临界值，则拒绝原假设。

具体计算过程

1. 提出原假设和备择假设：
   • 原假设$H_0$：工厂声称工人的粉尘暴露水平的总体均值为$12\,\text{mg/m}^3$，即$H_0: \mu = 12$。
   • 备择假设$H_1$：与原假设对立，即$H_1: \mu \neq 12$。
2. 确定检验统计量并计算其值：
   • 检验统计量为$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$。
   • 已知$\bar{x}=13.5$，$\mu_0 = 12$，$s = 4$，$n = 25$，代入可得：
     $\begin{align*} t&=\frac{13.5 - 12}{4 / \sqrt{25}}\\ &=\frac{1.5}{4 / 5}\\ &=\frac{1.5}{0.8}\\ &= 1.875 \end{align*}$
3. 确定临界值并比较得出结论：
   • 显著性水平$\alpha = 0.05$，自由度$n - 1 = 24$，双侧检验的临界值为$t(0.025,24)\approx2.064$。
   • 计算得到的检验统计量$t = 1.875$，其绝对值$\vert t\vert = 1.875$。
   • 因为$\vert t\vert = 1.875 \lt 2.064$，所以不拒绝原假设$H_0$。
   • 结论：没有充分证据拒绝工厂的声称，即工人的粉尘暴露水平的总体均值为$12\,\text{mg/m}^3$。