以下关于正态分布特征的描述,不正确的是()A. 有两个参数:σ和μB. 正态分布曲线下面积分布有一定规律C. 左右对称分布D. 正态分布曲线拐点在X=μ±1.64σE. 正态分布曲线均在横轴上方,在μ处最高

本题考查正态分布的特征相关知识点。解题思路是依次分析每个选项所描述的内容是否符合正态分布的特征。

• 选项A：
  正态分布的概率密度函数为$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$，其中$\mu$是均值，$\sigma$是标准差，这两个参数决定了正态分布的形状和位置，所以正态分布有两个参数$\sigma$和$\mu$，该选项正确。
• 选项B：
  正态分布曲线下的面积代表了随机变量在相应区间取值的概率，其面积分布有一定规律。例如，$\mu\pm\sigma$区间内的面积约为$68.27\%$，$\mu\pm1.96\sigma$区间内的面积约为$95\%$，$\mu\pm2.58\sigma$区间内的面积约为$99\%$，所以该选项正确。
• 选项C：
  正态分布曲线是以均值$\mu$为对称轴，左右完全对称的，所以该选项正确。
• 选项D：
  对正态分布的概率密度函数$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$求二阶导数，令二阶导数为$0$，可得到曲线的拐点。
  • 先求一阶导数$f^\prime(x)$：
    根据复合函数求导法则$(e^u)^\prime = e^u\cdot u^\prime$，令$u = -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}$，则$u^\prime = -\frac{2(x - \mu)}{2\sigma^2}=-\frac{x - \mu}{\sigma^2}$。
    所以$f^\prime(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}\cdot(-\frac{x - \mu}{\sigma^2})$。
  • 再求二阶导数$f^{\prime\prime}(x)$：
    根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，其中$u = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$，$v = -\frac{x - \mu}{\sigma^2}$。
    $u^\prime$前面已求得，$v^\prime = -\frac{1}{\sigma^2}$。
    则$f^{\prime\prime}(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}\cdot(-\frac{1}{\sigma^2})+\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}\cdot(-\frac{x - \mu}{\sigma^2})\cdot(-\frac{x - \mu}{\sigma^2})$。
    令$f^{\prime\prime}(x)=0$，即$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}\cdot(-\frac{1}{\sigma^2})+\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}\cdot\frac{(x - \mu)^2}{\sigma^4}=0$。
    因为$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}\neq0$，所以$-\frac{1}{\sigma^2}+\frac{(x - \mu)^2}{\sigma^4}=0$。
    等式两边同时乘以$\sigma^4$得到$-\sigma^2+(x - \mu)^2 = 0$，即$(x - \mu)^2=\sigma^2$，解得$x = \mu\pm\sigma$。
    所以正态分布曲线拐点在$X = \mu\pm\sigma$，而不是$X = \mu\pm1.64\sigma$，该选项错误。
• 选项E：
  由于正态分布的概率密度函数$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$中，$e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}\gt0$，$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\gt0$，所以$f(x)\gt0$，即正态分布曲线均在横轴上方。
  又因为当$x = \mu$时，$(x - \mu)^2 = 0$，此时$e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$取得最大值$1$，$f(x)$取得最大值，所以曲线在$\mu$处最高，该选项正确。