题目

若 X sim N(0,1)，且 Phi(2) = 0.9772，则 P(-2 < X leq 0) = _____。

若 $X \sim N(0,1)$，且 $\Phi(2) = 0.9772$，则 $P(-2 < X \leq 0) = \_\_\_\_\_$。

题目解答

答案

由题意，$X \sim N(0,1)$，且 $\Phi(2) = 0.9772$。
求 $P(-2 < X \leq 0)$，可利用标准正态分布的对称性：
$P(-2 < X \leq 0) = P(0 \leq X < 2) = \Phi(2) - \Phi(0)$
其中，$\Phi(0) = 0.5$（标准正态分布均值为0），代入得：
$P(-2 < X \leq 0) = 0.9772 - 0.5 = 0.4772$
或者，直接计算：
$P(-2 < X \leq 0) = P(X \leq 0) - P(X \leq -2) = 0.5 - (1 - \Phi(2)) = 0.5 - 0.0228 = 0.4772$

答案： $\boxed{0.4772}$

解析

本题考查标准正态分布的性质及概率计算。解题思路是利用标准正态分布的对称性以及标准正态分布函数$\varPhi(x)$的性质来计算$P(-2 \lt X \leq 0)$的值。

方法一：利用对称性计算

  • 因为标准正态分布$X \sim N(0,1)$关于$x = 0$对称，所以$P(-2 \lt X \leq 0)$与$P(0 \leq X \lt 2)$相等，即$P(-2 \lt X \leq 0) = P(0 \leq X \lt 2)$。
  • 根据标准正态分布函数$\varPhi(x)$的定义，$P(0 \leq X \lt 2)=\varPhi(2)-\varPhi(0)$。
  • 对于标准正态分布，其均值为$0$，所以$\varPhi(0) = 0.5$。
  • 已知$\varPhi(2) = 0.9772$，将$\varPhi(0) = 0.5$和$\varPhi(2) = 0.9772$代入$P(-2 \lt X \leq 0)=\varPhi(2)-\varPhi(0)$可得：
    $P(-2 \lt X \leq 0)=0.9772 - 0.5 = 0.4772$

方法二：直接计算

  • 根据概率的性质，$P(-2 \lt X \leq 0)=P(X \leq 0) - P(X \leq -2)$。
  • 因为标准正态分布均值为$0$，所以$P(X \leq 0) = 0.5$。
  • 又因为$P(X \leq -2)=1 - \varPhi(2)$，已知$\varPhi(2) = 0.9772$，则$P(X \leq -2)=1 - 0.9772 = 0.0228$。
  • 将$P(X \leq 0) = 0.5$和$P(X \leq -2)=0.0228$代入$P(-2 \lt X \leq 0)=P(X \leq 0) - P(X \leq -2)$可得：
    $P(-2 \lt X \leq 0)=0.5 - 0.0228 = 0.4772$