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题目

int dfrac (sqrt {{x)^2+(a)^2}}({x)^2}dx。

$\int_{ }^{ }\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x^2}dx$ 。

题目解答

答案

解：

先利用分部积分法进行转换：

$\int_{ }^{ }\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x^2}dx$

$=x\cdot\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x^2}-\int_{ }^{ }xd\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x^2}$

$=\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x}-\int_{ }^{ }\frac{\frac{x^3}{\sqrt{x^2+a^2}}-2x\sqrt{x^2+a^2}}{x^3}dx$

$=\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x}+\int_{ }^{ }\frac{x^2+2a^2}{x^2\sqrt{x^2+a^2}}dx$

其中

$\int_{ }^{ }\frac{x^2+2a^2}{x^2\sqrt{x^2+a^2}}dx$

$=\int_{ }^{ }\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx+\int_{ }^{ }\frac{2a^2}{x^2\sqrt{x^2+a^2}}dx$

对于积分 $\int_{ }^{ }\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+a^2}}dx$

令： $u=\sin\left(\arctan\frac{x}{a}\right)$ ，则 $x=a\tan\left(\arcsin u\right)$

$dx=\frac{a\sec^2\left(\arcsin u\right)}{\sqrt{1-u^2}}du$

$=\frac{a}{\left(1-u^2\right)\sqrt{1-u^2}}du$

带入有：

$\int_{ }^{ }\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+a^2}}dx$

$=\int_{ }^{ }\frac{\frac{a}{\left(1-u^2\right)\sqrt{1-u^2}}}{a^3\tan^2\left(\arcsin u\right)\sec\left(\arcsin u\right)}du$

$=\int_{ }^{ }\frac{\frac{1}{\left(1-u^2\right)\sqrt{1-u^2}}}{a^2\left(\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\right)^2\cdot\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}}du$

$=$ $\frac{1}{a^2}\int_{ }^{ }\frac{1}{u^2}du$

$=-\frac{1}{a^2u}+C$

$=-\frac{1}{a^2\sin\left(\arctan\frac{x}{a}\right)}+C$

$=-\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a^2x}+C$

而 $\int_{ }^{ }\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$

因此，原积分

$\int_{ }^{ }\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x^2}dx$

$=\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x}+\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|$

$-\frac{2\sqrt{a^2+x^2}}{x}+C$ 。

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