题目

8.(单选题，7分) 若D(X)=25,D(Y)=36,rho_(XY)=0.4，则D(X-Y)=（......）A. 61B. 73C. 49D. 37

8.(单选题，7分) 若$D(X)=25,D(Y)=36,\rho_{XY}=0.4$，则$D(X-Y)=（\cdots\cdots）$

A. 61

B. 73

C. 49

D. 37

题目解答

答案

D. 37

解析

本题考查方差的性质以及相关系数的定义，解题的关键在于利用方差的性质公式$D(X - Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$，并结合相关系数$\rho_{XY}$与协方差$Cov(X,Y)$的关系$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$来计算$D(X - Y)$的值。

  1. 首先明确方差的性质公式：
    • 对于两个随机变量$X$和$Y$，有$D(X - Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$。
    • 已知$D(X)=25$，$D(Y)=36$，所以需要求出$Cov(X,Y)$。
  2. 然后根据相关系数的定义求$Cov(X,Y)$：
    • 相关系数$\rho_{XY}$的定义为$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$。
    • 已知$\rho_{XY}=0.4$，$D(X)=25$，$D(Y)=36$，将其代入上式可得：
      • $0.4=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{25\times36}}$。
      • 先计算$\sqrt{25\times36}$，根据根式运算法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$（$a\geq0,b\geq0$），则$\sqrt{25\times36}=\sqrt{25}\times\sqrt{36}=5\times6 = 30$。
      • 所以$0.4=\frac{Cov(X,Y)}{30}$，通过交叉相乘可得$Cov(X,Y)=0.4\times30 = 12$。
  3. 最后计算$D(X - Y)$：
    • 将$D(X)=25$，$D(Y)=36$，$Cov(X,Y)=12$代入$D(X - Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$可得：
      • $D(X - Y)=25 + 36-2\times12$。
      • 先计算乘法$2\times12 = 24$，再计算加法$25+36=61$，最后计算减法$61 - 24=37$。