题目
设 X sim N(1,2^2)，求 PX < 1.96 = __________。
设 $X \sim N(1,2^2)$，求 $P\{X < 1.96\} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$。
题目解答
答案
设 $ X \sim N(1, 2^2) $，即 $ X $ 服从均值为 1、方差为 4 的正态分布。要求 $ P\{X < 1.96\} $。
首先，将 $ X $ 转化为标准正态分布 $ Z $，其中 $ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $。这里，$ \mu = 1 $，$ \sigma = 2 $。
因此，
\[
P\{X < 1.96\} = P\left\{\frac{X - 1}{2} < \frac{1.96 - 1}{2}\right\} = P\{Z < 0.48\}
\]
根据标准正态分布表，$ P\{Z < 0.48\} \approx 0.6844 $。
或者，可以使用 $ P\{Z < 0.48\} = \Phi(0.48) $，其中 $ \Phi $ 是标准正态分布的累积分布函数。
综上，
\[
P\{X < 1.96\} \approx 0.6844
\]
答案：0.6844（或 $ \Phi(0.48) $）。
解析
本题考查正态分布的概率计算，解题思路是先将给定的非标准正态分布转化为标准正态分布，再利用标准正态分布表或累积分布函数来求解概率。
已知$X\sim N(1,2^2)$，即$X$服从均值$\mu = 1$、方差$\sigma^2 = 4$（标准差$\sigma = 2$）的正态分布。要求$P\{X \lt 1.96\}$。
根据正态分布的标准化公式$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$，将$X$转化为标准正态分布$Z$。
- 首先进行标准化变换：
- 把$X$的取值范围$X \lt 1.96$进行标准化，将不等式两边同时减去均值$\mu = 1$，再除以标准差$\sigma = 2$，得到$P\left\{\frac{X - 1}{2}\lt{}\frac{1.96 - 1}{2}\right\}$。
- 计算$\frac{1.96 - 1}{2}=\frac{0.96}{2}=0.48$，所以$P\left\{\frac{X - 1}{2}\lt{}\frac{1.96 - 1}{2}\right\}=P\{Z \lt 0.48\}$，其中$Z\sim N(0,1)$是标准正态分布。
- 然后求概率：
- 对于标准正态分布$Z$，$P\{Z \lt 0.48\}$可以通过查标准正态分布表得到，也可以用标准正态分布的累积分布函数$\varPhi$表示，即$P\{Z \lt 0.48\}=\varPhi(0.48)$。
- 查标准正态分布表可得$\varPhi(0.48)\approx0.6844$。