题目

例7.1.4 设总体X的概率密度为-|||-(x;lambda )= ) lambda (e)^-lambda x,xgt 0 0, xleqslant 0 .-|||-其中, lambda gt 0 未知,X1,X2,···,Xn是来自总体X的样本,x1,x2,···,xn为其样本观测值.-|||-试求λ的最大似然估计量,

题目解答

答案

解析

本题考查最大似然估计量的求解，解题思路如下：

  1. 构造似然函数：根据总体的概率密度函数和样本观测值，构造参数 $\lambda$ 的似然函数 $L(\lambda)$。
  2. 确定似然函数的取值范围：分析似然函数在不同样本观测值情况下的取值，找出需要重点考虑的取值范围。
  3. 取对数：对似然函数取自然对数，得到对数似然函数 $\ln L(\lambda)$，这样可以简化后续的求导计算。
  4. 求导并令导数为 0：对对数似然函数求关于 $\lambda$ 的导数，并令导数等于 0，得到对数似然方程。
  5. 求解方程：解对数似然方程，得到参数 $\lambda$ 的最大似然估计值。
  6. 得到最大似然估计量：将样本观测值替换为样本，得到参数 $\lambda$ 的最大似然估计量。

下面进行详细的解答：

  1. 构造似然函数：
    已知总体 $X$ 的概率密度为 $f(x;\lambda ) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \gt 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$，样本观测值为 $x_1, x_2, \cdots, x_n$。
    根据似然函数的定义，参数 $\lambda$ 的似然函数为：
    $L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i;\lambda)$
    当 $x_1, x_2, \cdots, x_n \gt 0$ 时，$L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i}$；
    当存在 $x_j \leq 0$（$j = 1, 2, \cdots, n$）时，$L(\lambda) = 0$。
    所以，$L(\lambda) = \begin{cases} \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i}, & x_1, x_2, \cdots, x_n \gt 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$。
  2. 确定似然函数的取值范围：
    因为 $L(\lambda)$ 在 $x_1, x_2, \cdots, x_n \leq 0$ 时为 0，显然 0 不是 $L(\lambda)$ 的最大值，所以只需要考虑 $x_1, x_2, \cdots, x_n \gt 0$ 的情况，即 $L(\lambda) = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i}$。
  3. 取对数：
    对 $L(\lambda)$ 取自然对数，得到对数似然函数：
    $\ln L(\lambda) = \ln(\lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i}) = n\ln\lambda - \lambda \sum_{i=1}^{n} x_i$。
  4. 求导并令导数为 0：
    对 $\ln L(\lambda)$ 求关于 $\lambda$ 的导数：
    $\frac{d\ln L(\lambda)}{d\lambda} = \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} x_i$。
    令 $\frac{d\ln L(\lambda)}{d\lambda} = 0$，即 $\frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} x_i = 0$。
  5. 求解方程：
    由 $\frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} x_i = 0$，移项可得 $\frac{n}{\lambda} = \sum_{i=1}^{n} x_i$，解得 $\lambda = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} x_i} = \frac{1}{\overline{x}}$，其中 $\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$ 为样本均值。
    所以，$\lambda$ 的最大似然估计值为 $\hat{\lambda} = \frac{1}{\overline{x}}$。
  6. 得到最大似然估计量：
    将样本观测值 $x_i$ 替换为样本 $X_i$，得到 $\lambda$ 的最大似然估计量为 $\hat{\lambda} = \frac{1}{\overline{X}}$，其中 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ 为样本均值。