样本方差为 S^2 = (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - bar(X))^2。()

本题考查样本方差的定义及无偏估计的相关知识。解题的关键在于明确样本方差的标准定义以及为什么要采用特定的分母形式。

样本方差标准定义的推导思路

设总体均值为 $\mu$，总体方差为 $\sigma^2$，样本为 $X_1, X_2, \cdots, X_n$，样本均值为 $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$。
我们希望找到一个统计量来估计总体方差 $\sigma^2$，考虑用样本值与样本均值的离差平方和 $\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$ 来构建估计量。
对 $\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$ 进行变形：
$\begin{align*} \sum_{i = 1}^{n}(X_i - \bar{X})^2&=\sum_{i = 1}^{n}[(X_i - \mu)-(\bar{X}-\mu)]^2\\ &=\sum_{i = 1}^{n}[(X_i - \mu)^2 - 2(X_i - \mu)(\bar{X}-\mu)+(\bar{X}-\mu)^2]\\ &=\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2-2(\bar{X}-\mu)\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)+n(\bar{X}-\mu)^2 \end{align*}$
因为 $\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)=n(\bar{X}-\mu)$，所以上式可化简为：
$\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \bar{X})^2=\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2 - n(\bar{X}-\mu)^2$
两边同时取期望：
$E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \bar{X})^2\right]=E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2\right]-nE\left[(\bar{X}-\mu)^2\right]$
由于 $E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2\right]=n\sigma^2$，$E\left[(\bar{X}-\mu)^2\right]=D(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}$，则：
$E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \bar{X})^2\right]=n\sigma^2 - n\times\frac{\sigma^2}{n}=(n - 1)\sigma^2$
若令 $S^2=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$，则 $E(S^2)=\frac{n - 1}{n}\sigma^2\neq\sigma^2$，这说明 $S^2=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$ 是有偏估计。
而当 $S^2=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$ 时，$E(S^2)=\sigma^2$，此时 $S^2$ 是总体方差 $\sigma^2$ 的无偏估计，这就是样本方差的标准定义。

题目中给出的样本方差公式为 $S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$，分母为 $n$，计算的是样本方差的有偏估计，不符合样本方差的标准定义。