9.填空题2.来自总体X的一组样本观察值为：1，2，3，4，5。则样本均值=______，样本方差=______(答案用小数表示)
题目解答
答案
根据题目给出的样本观察值：$1, 2, 3, 4, 5$，我们需要计算样本均值和样本方差。
第一步：计算样本均值
样本均值（$\bar{x}$）是所有样本观察值的总和除以样本容量（$n$）。
已知样本数据为 $1, 2, 3, 4, 5$，样本容量 $n = 5$。
样本均值 $\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3$。
第二步：计算样本方差
在一般的统计学基础题目中，如果未特别指明是“无偏样本方差”（分母为 $n-1$），通常计算的是样本的二阶中心矩（即分母为 $n$）。根据题目要求“答案用小数表示”，我们采用分母为 $n$ 的公式进行计算。
样本方差 $S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$
将数据代入公式：
$S^2 = \frac{1}{5} [ (1 - 3)^2 + (2 - 3)^2 + (3 - 3)^2 + (4 - 3)^2 + (5 - 3)^2 ]$
$S^2 = \frac{1}{5} [ (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 ]$
$S^2 = \frac{1}{5} [ 4 + 1 + 0 + 1 + 4 ]$
$S^2 = \frac{10}{5} = 2$
第三步：按要求转换格式
题目明确要求“答案用小数表示”。
样本均值 $3$ 表示为小数即为 $3.0$。
样本方差 $2$ 表示为小数即为 $2.0$。
结论：
样本均值 = $3.0$
样本方差 = $2.0$
解析
本题考查样本均值和样本方差的计算。解题思路是先根据样本均值的定义计算出样本均值，再依据样本方差的计算公式算出样本方差，最后按照题目要求将结果用小数表示。
- 计算样本均值：
样本均值$\bar{x}$的计算公式为$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$，其中$n$是样本容量，$x_{i}$是第$i$个样本值。
已知样本数据为$1,2,3,4,5$，样本容量$n = 5$，将数据代入公式可得：
$\bar{x}=\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5}=\frac{15}{5}=3$ - 计算样本方差：
在一般的统计学基础题目中，如果未特别指明是“无偏样本方差”（分母为$n - 1$），通常计算的是样本的二阶中心矩（即分母为$n$）。样本方差$S^{2}$的计算公式为$S^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}$。
将$\bar{x}=3$，$n = 5$以及样本值$x_{1}=1$，$x_{2}=2$，$x_{3}=3$，$x_{4}=4$，$x_{5}=5$代入公式可得：
$\begin{align*} S^{2}&=\frac{1}{5}[(1 - 3)^{2}+(2 - 3)^{2}+(3 - 3)^{2}+(4 - 3)^{2}+(5 - 3)^{2}]\\ &=\frac{1}{5}[(-2)^{2}+(-1)^{2}+0^{2}+1^{2}+2^{2}]\\ &=\frac{1}{5}(4 + 1 + 0 + 1 + 4)\\ &=\frac{10}{5}\\ &= 2 \end{align*}$ - 按要求转换格式：
题目明确要求“答案用小数表示”，所以样本均值$3$表示为小数是$3.0$，样本方差$2$表示为小数是$2.0$。