题目

7.X1,···,X5和Y1,···,Y8是来自正态总体 N(-2,40) 的-|||-两个独立样本,则 overline (X)-overline (Y)sim __

题目解答

答案

解析

本题考查正态分布的性质以及独立样本均值的分布和期望、方差的计算。解题思路如下：

  1. 首先明确正态分布的性质：若$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自正态总体$N(\mu,\sigma^2)$的样本，则样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$服从正态分布$N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$。
  2. 然后根据已知条件，分别求出$\overline{X}$和$\overline{Y}$的分布。
  3. 接着利用期望和方差的性质计算$\overline{X}-\overline{Y}$的期望和方差。期望的性质为$E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$，方差的性质为若$X$与$Y$相互独立，则$D(aX + bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)$。
  4. 最后根据正态分布的可加性，若$X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$，且$X$与$Y$相互独立，则$X\pm Y\sim N(\mu_1\pm\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$，得出$\overline{X}-\overline{Y}$的分布。

已知$X_1,\cdots,X_5$和$Y_1,\cdots,Y_8$是来自正态总体$N(-2,40)$的两个独立样本。

  • 步骤一：求$\overline{X}$的分布
    根据上述正态分布样本均值的性质，对于样本$X_1,\cdots,X_5$，$n_1 = 5$，$\mu=-2$，$\sigma^2 = 40$，则$\overline{X}\sim N(-2,\frac{40}{5})$，即$\overline{X}\sim N(-2,8)$。
  • 步骤二：求$\overline{Y}$的分布
    对于样本$Y_1,\cdots,Y_8$，$n_2 = 8$，$\mu=-2$，$\sigma^2 = 40$，则$\overline{Y}\sim N(-2,\frac{40}{8})$，即$\overline{Y}\sim N(-2,5)$。
  • 步骤三：计算$\overline{X}-\overline{Y}$的期望
    根据期望的性质$E(\overline{X}-\overline{Y})=E(\overline{X})-E(\overline{Y})$，因为$E(\overline{X})=-2$，$E(\overline{Y})=-2$，所以$E(\overline{X}-\overline{Y})=-2-(-2)=0$。
  • 步骤四：计算$\overline{X}-\overline{Y}$的方差
    由于$\overline{X}$与$\overline{Y}$相互独立，根据方差的性质$D(\overline{X}-\overline{Y})=D(\overline{X})+D(\overline{Y})$，又因为$D(\overline{X}) = 8$，$D(\overline{Y}) = 5$，所以$D(\overline{X}-\overline{Y})=8 + 5=13$。
  • 步骤五：确定$\overline{X}-\overline{Y}$的分布
    由正态分布的可加性可知，$\overline{X}-\overline{Y}\sim N(0,13)$。