题目

已知：电子静止质量，m_e=9.1times10^-31(kg)；光速：c=2.998times10^8(m/s)；电子电荷：e=1.602times10^-19(C)；普朗克常数：h=6.626times10^-34(J)cdot(s)。若X射线管发出的连续X射线短波限波长为0.062nm，求：1) X射线管的管电压为多少？2) 电子在与靶碰撞时的动能3) 电子在与靶碰撞时的速度

已知：电子静止质量，$m_e=9.1\times10^{-31}\text{kg}$；光速：$c=2.998\times10^8\text{m/s}$；电子电荷：$e=1.602\times10^{-19}\text{C}$；普朗克常数：$h=6.626\times10^{-34}\text{J}\cdot\text{s}$。 若X射线管发出的连续X射线短波限波长为0.062nm，求： 1) X射线管的管电压为多少？ 2) 电子在与靶碰撞时的动能 3) 电子在与靶碰撞时的速度

题目解答

答案

1) 根据 $ \lambda_{\text{min}} = \frac{hc}{eU} $，可得： \[ U = \frac{hc}{e \lambda_{\text{min}}} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 2.998 \times 10^8}{1.602 \times 10^{-19} \times 6.2 \times 10^{-11}} \approx 2.0 \times 10^4 \, \text{V} \] 2) 电子动能为： \[ K = eU = 1.602 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^4 = 3.204 \times 10^{-15} \, \text{J} \] 3) 电子速度为： \[ v = \sqrt{\frac{2K}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \times 3.204 \times 10^{-15}}{9.1 \times 10^{-31}}} \approx 2.65 \times 10^7 \, \text{m/s} \] 最终结果： 1) 管电压 $ U \approx 20 \, \text{kV} $。 2) 电子动能 $ K \approx 3.2 \times 10^{-15} \, \text{J} $。 3) 电子速度 $ v \approx 2.65 \times 10^7 \, \text{m/s} $。

解析

本题主要考查了连续X射线短波限与管电压、电子动能以及电子速度之间的关系，解题思路如下：

  1. 求X射线管的管电压：
    • 连续X射线的短波限$\lambda_{\text{min}}$与管电压$U$之间的关系为$\lambda_{\text{min}} = \frac{hc}{eU}$，其中$h$为普朗克常数，$c$为光速，$e$为电子电荷。
    • 通过移项可得管电压$U$的计算公式为$U = \frac{hc}{e \lambda_{\text{min}}}$。
    • 已知$h = 6.626\times10^{-34}\text{J}\cdot\text{s}$，$c = 2.998\times10^8\text{m/s}$，$e = 1.602\times10^{-19}\text{C}$，$\lambda_{\text{min}} = 0.062\text{nm}=6.2\times10^{-11}\text{m}$，将这些值代入公式可得：
      $\begin{align*}U&=\frac{6.626\times10^{-34}\times2.998\times10^8}{1.602\times10^{-19}\times6.2\times10^{-11}}\\&=\frac{6.626\times2.998\times10^{-34 + 8}}{1.602\times6.2\times10^{-19 - 11}}\\&=\frac{19.871748\times10^{-26}}{9.9324\times10^{-30}}\\&=\frac{19.871748}{9.9324}\times10^{-26 - (-30)}\\&\approx2.0\times10^4\text{V}\end{align*}$
  2. 求电子在与靶碰撞时的动能：
    • 电子在电场中加速获得的动能$K$等于电子电荷量$e$与管电压$U$的乘积，即$K = eU$。
    • 由上一步已求得$U\approx2.0\times10^4\text{V}$，$e = 1.602\times10^{-19}\text{C}$，将其代入公式可得：
      $\begin{align*}K&=1.602\times10^{-19}\times2.0\times10^4\\&=1.602\times2.0\times10^{-19 + 4}\\&=3.204\times10^{-15}\text{J}\end{align*}$
  3. 求电子在与靶碰撞时的速度：
    • 对于非相对论情况，电子的动能$K$与速度$v$的关系为$K = \frac{1}{2}m_ev^2$，其中$m_e$为电子静止质量。
    • 通过移项可得速度$v$的计算公式为$v = \sqrt{\frac{2K}{m_e}}$。
    • 已知$K\approx3.204\times10^{-15}\text{J}$，$m_e = 9.1\times10^{-31}\text{kg}$，将其代入公式可得：
      $\begin{align*}v&=\sqrt{\frac{2\times3.204\times10^{-15}}{9.1\times10^{-31}}}\\&=\sqrt{\frac{6.408\times10^{-15}}{9.1\times10^{-31}}}\\&=\sqrt{\frac{6.408}{9.1}\times10^{-15 - (-31)}}\\&=\sqrt{0.704176\times10^{16}}\\&\approx2.65\times10^7\text{m/s}\end{align*}$