题目
质点沿半径为R=0.5米的圆周运动，运动学方程为(SI)，[theta=4+3t^2]则t=2(s)时，质点的法向加速度大小为a_n= [填空1]m/s^2；角加速度alpha= [填空2]rad/s^2。
质点沿半径为$R=0.5$米的圆周运动，运动学方程为(SI)， $\theta=4+3t^2$ 则$t=2\text{s}$时，质点的法向加速度大小为$a_n=$ [填空1]$m/s^2$；角加速度$\alpha=$ [填空2]$rad/s^2$。
题目解答
答案
根据 $ \theta = 4 + 3t^2 $，可得：
\[
\omega = \frac{d\theta}{dt} = 6t, \quad \alpha = \frac{d\omega}{dt} = 6 \, \text{rad/s}^2
\]
当 $ t = 2 \, \text{s} $ 时，$ \omega = 6 \times 2 = 12 \, \text{rad/s} $。
法向加速度为：
\[
a_n = R \omega^2 = 0.5 \times (12)^2 = 72 \, \text{m/s}^2
\]
角加速度为：
\[
\alpha = 6 \, \text{rad/s}^2
\]
答案：
法向加速度 $ a_n = 72 \, \text{m/s}^2 $。
角加速度 $ \alpha = 6 \, \text{rad/s}^2 $。
解析
本题主要考查圆周运动中角速度、角加速度以及法向加速度的计算。解题的关键在于理解这些物理量与运动学方程之间的关系，通过对运动学方程求导得到角速度和角加速度，再利用角速度计算法向加速度。
- 求角速度$\omega$和角加速度$\alpha$：
- 已知质点的运动学方程为$\theta = 4 + 3t^2$，根据角速度的定义$\omega=\frac{d\theta}{dt}$，对$\theta$关于$t$求导：
- 根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，常数的导数为$0$，可得$\omega=\frac{d\theta}{dt}=\frac{d(4 + 3t^2)}{dt}=\frac{d(4)}{dt}+\frac{d(3t^2)}{dt}=0 + 3\times2t = 6t$。
- 再根据角加速度的定义$\alpha=\frac{d\omega}{dt}$，对$\omega$关于$t$求导：
- 同样根据求导公式，可得$\alpha=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d(6t)}{dt}=6\ rad/s^2$。
- 已知质点的运动学方程为$\theta = 4 + 3t^2$，根据角速度的定义$\omega=\frac{d\theta}{dt}$，对$\theta$关于$t$求导：
- 求$t = 2s$时的角速度$\omega$：
- 将$t = 2s$代入$\omega = 6t$，可得$\omega = 6\times2 = 12\ rad/s$。
- 求$t = 2s$时的法向加速度$a_n$：
- 根据法向加速度的计算公式$a_n = R\omega^2$，已知$R = 0.5m$，$\omega = 12\ rad/s$，代入可得：
- $a_n = 0.5\times(12)^2=0.5\times144 = 72\ m/s^2$。
- 根据法向加速度的计算公式$a_n = R\omega^2$，已知$R = 0.5m$，$\omega = 12\ rad/s$，代入可得：