题目

练习2：试写出下列随机试验的样本空间E_(1)：抛一枚硬币两次，观察正面H（或1）、反面T（或0）出现的情况。E_(2)：抛一枚硬币三次，观察正面H（或1）、反面T（或0）出现的情况。E_(3)：抛一枚硬币三次，观察出现正面的次数。E_(4)：观察某射击手对固定目标所进行的n次射击，记录其击中目标的次数。E_(5)：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。E_(6)：记录某医院接到120急救电话一昼夜的呼叫次数。

练习2：试写出下列随机试验的样本空间 $E_{1}$：抛一枚硬币两次，观察正面H（或1）、反面T（或0）出现的情况。 $E_{2}$：抛一枚硬币三次，观察正面H（或1）、反面T（或0）出现的情况。 $E_{3}$：抛一枚硬币三次，观察出现正面的次数。 $E_{4}$：观察某射击手对固定目标所进行的n次射击，记录其击中目标的次数。 $E_{5}$：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 $E_{6}$：记录某医院接到120急救电话一昼夜的呼叫次数。

题目解答

答案

1. $E_1$：抛硬币两次，结果为（H，H）、（H，T）、（T，H）、（T，T）或（1，1）、（1，0）、（0，1）、（0，0）。 **样本空间：** $\Omega_1 = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$ 或 $\Omega_1 = \{(1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0)\}$ 2. $E_2$：抛硬币三次，结果为所有可能的三元组。 **样本空间：** $\Omega_2 = \{(H, H, H), (H, H, T), \ldots, (T, T, T)\}$ 或 $\Omega_2 = \{(1, 1, 1), (1, 1, 0), \ldots, (0, 0, 0)\}$ 3. $E_3$：三次抛硬币中正面出现的次数，可为0、1、2、3。 **样本空间：** $\Omega_3 = \{0, 1, 2, 3\}$ 4. $E_4$：n次射击中击中目标的次数，可为0到n。 **样本空间：** $\Omega_4 = \{0, 1, 2, \ldots, n\}$ 5. $E_5$：灯泡寿命，非负实数。 **样本空间：** $\Omega_5 = [0, +\infty)$ 6. $E_6$：一昼夜内接到的呼叫次数，非负整数。 **样本空间：** $\Omega_6 = \{0, 1, 2, \ldots\}$ \[ \boxed{ \begin{array}{ll} E_1: & \Omega_1 = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\} \\ E_2: & \Omega_2 = \{(H, H, H), (H, H, T), \ldots, (T, T, T)\} \\ E_3: & \Omega_3 = \{0, 1, 2, 3\} \\ E_4: & \Omega_4 = \{0, 1, 2, \ldots, n\} \\ E_5: & \Omega_5 = [0, +\infty) \\ E_6: & \Omega_6 = \{0, 1, 2, \ldots\} \end{array} } \]

解析

本题主要考查样本空间的概念，样本空间是随机试验所有可能结果组成的集合。解题的关键在于明确每个随机试验的所有可能结果，并将其准确地用集合表示出来。

1. 对于试验 $E_1$：抛一枚硬币两次，观察正面H（或1）、反面T（或0）出现的情况

  • 第一次抛硬币有2种可能结果（正面H或反面T），第二次抛硬币同样有2种可能结果。
  • 根据排列组合的乘法原理，总的可能结果数为 $2\times2 = 4$ 种。
  • 具体的结果为（H，H）、（H，T）、（T，H）、（T，T），若用1表示正面，0表示反面，则为（1，1）、（1，0）、（0，1）、（0，0）。
  • 所以样本空间 $\Omega_1 = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$ 或 $\Omega_1 = \{(1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0)\}$。

2. 对于试验 $E_2$：抛一枚硬币三次，观察正面H（或1）、反面T（或0）出现的情况

  • 每次抛硬币都有2种可能结果，根据排列组合的乘法原理，抛三次硬币总的可能结果数为 $2\times2\times2 = 8$ 种。
  • 所有可能的结果是所有可能的三元组，如（H，H，H）、（H，H，T）、（H，T，H）、（H，T，T）、（T，H，H）、（T，H，T）、（T，T，H）、（T，T，T），若用1表示正面，0表示反面，则为（1，1，1）、（1，1，0）、（1，0，1）、（1，0，0）、（0，1，1）、（0，1，0）、（0，0，1）、（0，0，0）。
  • 所以样本空间 $\Omega_2 = \{(H, H, H), (H, H, T), (H, T, H), (H, T, T), (T, H, H), (T, H, T), (T, T, H), (T, T, T)\}$ 或 $\Omega_2 = \{(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)\}$，通常可简写为 $\Omega_2 = \{(H, H, H), (H, H, T), \ldots, (T, T, T)\}$ 或 $\Omega_2 = \{(1, 1, 1), (1, 1, 0), \ldots, (0, 0, 0)\}$。

3. 对于试验 $E_3$：抛一枚硬币三次，观察出现正面的次数

  • 三次抛硬币中，正面出现的次数可能为0次（即三次都是反面）、1次、2次或3次（即三次都是正面）。
  • 所以样本空间 $\Omega_3 = \{0, 1, 2, 3\}$。

4. 对于试验 $E_4$：观察某射击手对固定目标所进行的n次射击，记录其击中目标的次数

  • 在n次射击中，击中目标的次数最少为0次（即一次都没击中），最多为n次（即每次都击中）。
  • 所以击中目标的次数可以是0到n之间的任意整数，样本空间 $\Omega_4 = \{0, 1, 2, \ldots, n\}$。

5. 对于试验 $E_5$：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命

  • 灯泡的寿命是一个非负实数，因为寿命不能为负数。
  • 所以样本空间 $\Omega_5 = [0, +\infty)$，表示从0到正无穷的所有实数。

6. 对于试验 $E_6$：记录某医院接到120急救电话一昼夜的呼叫次数

  • 一昼夜内接到的呼叫次数是一个非负整数，因为呼叫次数不能为负数，且只能是整数。
  • 所以样本空间 $\Omega_6 = \{0, 1, 2, \ldots\}$，表示从0开始的所有正整数。