X~N(0,1)，varnothing(x)为其分布函数，下面的描述不正确的是()A. varnothing(-x) = 1 - varnothing(x)B. Pa C. Y sim N(1,9)，则 PX D. varnothing(0) = 0

本题主要考查标准正态分布的性质、分布函数的定义以及正态分布的标准化。解题思路是根据标准正态分布的相关性质和公式，对每个选项逐一进行分析判断。

• 选项A：
  • 对于标准正态分布$X \sim N(0,1)$，其概率密度函数$\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}$是关于$x = 0$对称的。
  • 根据分布函数的定义$\varnothing(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt$，$\varnothing(-x)=P(X\leq -x)=\int_{-\infty}^{-x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt$。
  • 由概率的性质$P(X\leq -x)=1 - P(X\leq x)$，即$\varnothing(-x)=1 - \varnothing(x)$，所以选项A正确。
• 选项B：
  • 根据分布函数的定义，$P\{a \lt X \lt b\}=P(X \lt b)-P(X \lt a)$。
  • 因为对于连续型随机变量，$P(X \lt b)=P(X\leq b)$，$P(X \lt a)=P(X\leq a)$，所以$P\{a \lt X \lt b\}=\varnothing(b) - \varnothing(a)$，选项B正确。
• 选项C：
  • 已知$Y \sim N(1,9)$，若$Y\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则可通过标准化变换$Z=\frac{Y - \mu}{\sigma}$使其服从标准正态分布$N(0,1)$。
  • 这里$\mu = 1$，$\sigma=\sqrt{9}=3$，所以$Z = \frac{Y - 1}{3} \sim N(0,1)$。
  • 那么$P\{Y \lt 4\}=P\{\frac{Y - 1}{3}\lt{}\frac{4 - 1}{3}\}=P\{Z \lt 1\}$，而$P\{Z \lt 1\}=\varnothing(1)$，选项C正确。
• 选项D：
  • 因为标准正态分布$X \sim N(0,1)$关于$x = 0$对称，所以$P(X\leq 0)=\frac{1}{2}=0.5$。
  • 又因为$\varnothing(0)=P(X\leq 0)$，所以$\varnothing(0)=0.5\neq0$，选项D错误。