题目

8、一质量为 times (10)^-3kg 的物体做谐振动,振幅为24cm,周期为4.0 s,当 t=0 时位移为+-|||-24cm.求:-|||-(1) =0.5s 时,物体所在的位置及此时所受力的大小和方向;-|||-(2)由起始位置运动到 x=12cm 处所需的最短时间;-|||-(3)在 x=12cm 处物体的总能量.

题目解答

答案

解析

本题主要考查简谐振动的相关知识，包括振动方程的确定、位移、受力、运动时间以及总能量的计算。解题的关键在于根据已知条件确定振动方程，再利用振动方程和相关物理公式进行求解。

  1. 确定振动方程：
    • 已知振幅$A = 24\times10^{-2}m$，周期$T = 4.0s$，根据角频率与周期的关系$\omega=\frac{2\pi}{T}$，可得$\omega=\frac{2\pi}{4.0}=0.5\pi\ rad\cdot s^{-1}$。
    • 当$t = 0$时，位移$x_0 = +A$，根据简谐振动方程$x = A\cos(\omega t+\varphi)$，可得$\varphi_0 = 0$。
    • 所以振动方程为$x = 24\times10^{-2}\cos(0.5\pi t)m$。
  2. 计算$t = 0.5s$时物体的位置、受力大小和方向：
    • 位置：将$t = 0.5s$代入振动方程$x = 24\times10^{-2}\cos(0.5\pi t)m$，可得$x_{0.5}=24\times10^{-2}\cos(0.5\pi\times0.5)=24\times10^{-2}\cos(\frac{\pi}{4})=0.17m$。
    • 受力：根据牛顿第二定律$F = ma$，对于简谐振动$a = -\omega^2x$，所以$F=-m\omega^2x$。将$m = 10\times10^{-3}kg$，$\omega = 0.5\pi\ rad\cdot s^{-1}$，$x = 0.17m$代入可得$F=-10\times10^{-3}\times(0.5\pi)^2\times0.17=-10\times10^{-3}\times(\frac{\pi}{2})^2\times0.17=-4.2\times10^{-3}N$。负号表示力的方向指向坐标原点，即沿$x$轴负向。
  3. 计算由起始位置运动到$x = 12cm$处所需的最短时间：
    • 当$x = 12cm = 0.12m$时，代入振动方程$x = A\cos(\omega t)$，即$0.12 = 0.24\cos(0.5\pi t)$，可得$\cos(0.5\pi t)=\frac{0.12}{0.24}=\frac{1}{2}$。
    • 因为要求最短时间，且$t = 0$时$\varphi_0 = 0$，所以$0.5\pi t=\frac{\pi}{3}$，解得$t=\frac{\frac{\pi}{3}}{0.5\pi}=\frac{2}{3}s$。
  4. 计算在$x = 12cm$处物体的总能量：
    • 由于简谐振动中能量守恒，系统的总能量$E=\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}m\omega^2A^2$。
    • 将$m = 10\times10^{-3}kg$，$\omega = 0.5\pi\ rad\cdot s^{-1}$，$A = 0.24m$代入可得$E=\frac{1}{2}\times10\times10^{-3}\times(0.5\pi)^2\times(0.24)^2=\frac{1}{2}\times10\times10^{-3}\times(\frac{\pi}{2})^2\times(0.24)^2=7.1\times10^{-4}J$。