题目

进出口公司出口一种食品。按规定这种食品每包重量应不低于150克,现用抽样的方法进行检验,其结果如下: | 每包重量（克）| 包数（包）| | --- | --- | | 148-149 | 10 | | 149-150 | 20 | | 150-151 | 50 | | 151-152 | 20 | | | 100 | 要求:这批食品平均每包重量的置信区间为( A. lpA. =0.05)()A. (150.15,150.46)B. (150.12,150.48)C. (150.16,150.44)D. (150.13,150.47)

进出口公司出口一种食品。按规定这种食品每包重量应不低于150克,现用抽样的方法进行检验,其结果如下:

| 每包重量（克）| 包数（包）|
| --- | --- |
| 148-149 | 10 |
| 149-150 | 20 |
| 150-151 | 50 |
| 151-152 | 20 |
| | 100 |

要求:这批食品平均每包重量的置信区间为($\

  • A. lp
  • A. =0.05$)()
  • A. (150.15,150.46)
  • B. (150.12,150.48)
  • C. (150.16,150.44)
  • D. (150.13,150.47)

题目解答

答案

为了确定这批食品平均每包重量的置信区间，我们需要遵循以下步骤：

  1. 计算样本均值（$\bar{x}$)：

    首先，我们找到每个重量类别的中点：

    • 对于148-149，中点是 $\frac{148 + 149}{2} = 148.5$。
    • 对于149-150，中点是 $\frac{149 + 150}{2} = 149.5$。
    • 对于150-151，中点是 $\frac{150 + 151}{2} = 150.5$。
    • 对于151-152，中点是 $\frac{151 + 152}{2} = 151.5$。

    接下来，我们计算样本均值：
    $\bar{x} = \frac{(148.5 \times 10) + (149.5 \times 20) + (150.5 \times 50) + (151.5 \times 20)}{100}$
    $\bar{x} = \frac{1485 + 2990 + 7525 + 3030}{100} = \frac{15030}{100} = 150.3$

  2. 计算样本标准差（$s$）：

    首先，我们计算与均值的平方差，然后找到方差：
    $\text{方差} = \frac{(148.5 - 150.3)^2 \times 10 + (149.5 - 150.3)^2 \times 20 + (150.5 - 150.3)^2 \times 50 + (151.5 - 150.3)^2 \times 20}{99}$
    $\text{方差} = \frac{(-1.8)^2 \times 10 + (-0.8)^2 \times 20 + (0.2)^2 \times 50 + (1.2)^2 \times 20}{99}$
    $\text{方差} = \frac{3.24 \times 10 + 0.64 \times 20 + 0.04 \times 50 + 1.44 \times 20}{99}$
    $\text{方差} = \frac{32.4 + 12.8 + 2 + 28.8}{99} = \frac{76}{99} \approx 0.7677$
    样本标准差是方差的平方根：
    $s = \sqrt{0.7677} \approx 0.8762$

  3. 确定临界值（$t_{\alpha/2, n-1}$）：

    对于 $n = 100$ 和 $\alpha = 0.05$，自由度 $df = n - 1 = 99$。使用t分布表或计算器，$t_{0.025, 99} \approx 1.984$。

  4. 计算 margin of error（MOE）：

    $\text{MOE} = t_{\alpha/2, n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 1.984 \times \frac{0.8762}{\sqrt{100}} = 1.984 \times 0.08762 \approx 0.1737$

  5. 计算置信区间：

    $\text{置信区间} = \bar{x} \pm \text{MOE} = 150.3 \pm 0.1737 \approx (150.13, 150.47)$

因此，这批食品平均每包重量的置信区间是 $\boxed{D}$。

解析

本题考查的是根据分组数据计算总体均值的置信区间，解题思路如下：

  1. 计算样本均值$\bar{x}$：先确定每个组的组中值，再根据组中值和对应频数计算样本均值。
  2. 计算样本标准差$s$：先计算每个组中值与样本均值的离差平方，再结合频数计算方差，最后对方差开方得到样本标准差。
  3. 确定临界值$t_{\alpha/2, n - 1}$：根据给定的显著性水平$\alpha$和样本量$n$，计算自由度$df=n - 1$，然后查$t$分布表或使用计算器得到临界值。
  4. 计算边际误差$MOE$：根据临界值、样本标准差和样本量计算边际误差。
  5. 计算置信区间：用样本均值加减边际误差得到置信区间。

具体计算过程

  1. 计算样本均值$\bar{x}$
    • 计算每个组的组中值：
      • $148 - 149$组的组中值为$\frac{148 + 149}{2}=148.5$；
      • $149 - 150$组的组中值为$\frac{149 + 150}{2}=149.5$；
      • $150 - 151$组的组中值为$\frac{150 + 151}{2}=150.5$；
      • $151 - 152$组的组中值为$\frac{151 + 152}{2}=151.5$。
    • 根据样本均值公式$\bar{x}=\frac{\sum_{i = 1}^{k}x_{i}f_{i}}{n}$（其中$x_{i}$是组中值，$f_{i}$是频数，$n$是样本总量）可得：
      $\bar{x}=\frac{(148.5\times10)+(149.5\times20)+(150.5\times50)+(151.5\times20)}{100}$
      $=\frac{1485 + 2990+7525 + 3030}{100}=\frac{15030}{100}=150.3$
  2. 计算样本标准差$s$
    • 先计算方差$s^{2}$，根据公式$s^{2}=\frac{\sum_{i = 1}^{k}(x_{i}-\bar{x})^{2}f_{i}}{n - 1}$可得：
      $s^{2}=\frac{(148.5 - 150.3)^{2}\times10+(149.5 - 150.3)^{2}\times20+(150.5 - 150.3)^{2}\times50+(151.5 - 150.3)^{2}\times20}{99}$
      $=\frac{(-1.8)^{2}\times10+(-0.8)^{2}\times20+(0.2)^{2}\times50+(1.2)^{2}\times20}{99}$
      $=\frac{3.24\times10 + 0.64\times20+0.04\times50 + 1.44\times20}{99}$
      $=\frac{32.4+12.8 + 2+28.8}{99}=\frac{76}{99}\approx0.7677$
    • 样本标准差$s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{0.7677}\approx0.8762$
  3. 确定临界值$t_{\alpha/2, n - 1}$
    已知$n = 100$，$\alpha=0.05$，则自由度$df=n - 1=99$，查$t$分布表或使用计算器可得$t_{0.025,99}\approx1.984$。
  4. 计算边际误差$MOE$
    根据公式$MOE=t_{\alpha/2, n - 1}\times\frac{s}{\sqrt{n}}$可得：
    $MOE = 1.984\times\frac{0.8762}{\sqrt{100}}=1.984\times0.08762\approx0.1737$
  5. 计算置信区间
    置信区间为$\bar{x}\pm MOE$，即$150.3\pm0.1737\approx(150.13,150.47)$