题目

例 3-7 图 3-9 所示静定多跨梁由AB和BC梁在中间用铰链B连接而成,支承和荷载-|||-情况如图 3-9(a) 所示。已知 =15kN, q=5kN/m ,l=1m, =10kNcdot m, 求支座A、-|||-C和中间铰B处的约束力。-|||-IF q M-|||-y-|||-C 45°-|||-A B x-|||-1 1 1-|||-(a)

题目解答

答案

解析

本题考查静定多跨梁的受力分析与平衡方程的应用。解题的关键思路是根据静定多跨梁的结构特点，先分析附属部分（梁 BC），再分析基本部分（梁 AB）。因为附属部分的受力相对简单，未知量较少，可先通过平衡方程求解其受力，然后将附属部分与基本部分的连接点处的力作为已知条件，再对基本部分列平衡方程求解。

1. 取梁 BC 为研究对象

梁 BC 受到集中力偶 $M$、均布荷载 $q$、支座 C 的约束力 $F_C$ 以及中间铰 B 处的约束力 $F_{Bx}$ 和 $F_{By}$。

  • 对 B 点取矩：
    根据力矩平衡方程 $\sum M_B(F_i)=0$，规定逆时针方向为正。均布荷载 $q$ 作用在长度为 $l$ 的梁段上，其合力为 $ql$，作用点在该梁段的中点，即距离 B 点 $\frac{l}{2}$ 处；力偶 $M$ 使梁 BC 有顺时针转动趋势，为负；支座 C 的约束力 $F_C$ 与水平方向成 $45^{\circ}$ 角，其对 B 点的力臂为 $2l$，为正。则有：
    $-M - ql\times\frac{l}{2}+F_C\sin45^{\circ}\times2l = 0$
    移项可得：
    $F_C\sin45^{\circ}\times2l = M + \frac{ql^2}{2}$
    解得：
    $F_C=\frac{M + \frac{ql^2}{2}}{2l\sin45^{\circ}}$
    将 $M = 10kN\cdot m$，$q = 5kN/m$，$l = 1m$ 代入上式：
    $F_C=\frac{10 + \frac{5\times1^2}{2}}{2\times1\times\sin45^{\circ}}=\frac{10 + 2.5}{2\times\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{12.5}{\sqrt{2}}\approx8.84kN$
  • x 方向受力平衡：
    根据水平方向力的平衡方程 $\sum F_{ix}=0$，规定向右为正。则有：
    $F_{Bx}-F_C\cos45^{\circ}=0$
    移项可得：
    $F_{Bx}=F_C\cos45^{\circ}$
    将 $F_C\approx8.84kN$ 代入上式：
    $F_{Bx}=8.84\times\cos45^{\circ}=8.84\times\frac{\sqrt{2}}{2}\approx6.25kN$
  • y 方向受力平衡：
    根据竖直方向力的平衡方程 $\sum F_{iy}=0$，规定向上为正。则有：
    $F_{By}-ql + F_C\sin45^{\circ}=0$
    移项可得：
    $F_{By}=ql - F_C\sin45^{\circ}$
    将 $q = 5kN/m$，$l = 1m$，$F_C\approx8.84kN$ 代入上式：
    $F_{By}=5\times1 - 8.84\times\sin45^{\circ}=5 - 8.84\times\frac{\sqrt{2}}{2}\approx5 - 6.25=-1.25kN$

2. 取梁 AB 为研究对象

梁 AB 受到集中力 $F$、中间铰 B 处的约束力 $F_{Bx}$ 和 $F_{By}$、支座 A 的水平约束力 $F_{Ax}$、竖直约束力 $F_{Ay}$ 以及支座 A 处的约束力偶 $M_A$。

  • x 方向受力平衡：
    根据水平方向力的平衡方程 $\sum F_{ix}=0$，规定向右为正。则有：
    $F_{Ax}-F_{Bx}=0$
    移项可得：
    $F_{Ax}=F_{Bx}$
    将 $F_{Bx}=6.25kN$ 代入上式，得 $F_{Ax}=6.25kN$。
  • y 方向受力平衡：
    根据竖直方向力的平衡方程 $\sum F_{iy}=0$，规定向上为正。则有：
    $F_{Ay}-F - F_{By}=0$
    移项可得：
    $F_{Ay}=F + F_{By}$
    将 $F = 15kN$，$F_{By}=-1.25kN$ 代入上式，得 $F_{Ay}=15 + (-1.25)=13.75kN$。
  • 对 A 点取矩：
    根据力矩平衡方程 $\sum M_A(F_i)=0$，规定逆时针方向为正。集中力 $F$ 作用在距离 A 点 $l$ 处，$F_{By}$ 作用在距离 A 点 $2l$ 处。则有：
    $M_A - Fl - F_{By}\times2l = 0$
    移项可得：
    $M_A = Fl + F_{By}\times2l$
    将 $F = 15kN$，$l = 1m$，$F_{By}=-1.25kN$ 代入上式：
    $M_A = 15\times1 + (-1.25)\times2\times1=15 - 2.5 = 12.5kN\cdot m$