17.已知某种零件的尺寸服从正态分布,现从一批零件中随机抽取16只,测得-|||-其长度(厘米)如下:-|||-15.1 14.5 14.8 14.615.2 14.8 14.9 14.6-|||-14.8 15.1 15.3 14.7 15.0 15.2 15.1 14.7-|||-(1)若要求该种零件的标准长度应为15毫米,检验这批零件是否符合标准要-|||-求。( a=0.05 )-|||-(2)若已知方差为0.09,问该批零件是否符合标准要求。( t0.025(15)=2.131

本题考查总体均值的假设检验，解题思路是先提出原假设和备择假设，然后根据已知条件计算样本均值和样本标准差，再根据总体标准差是否已知选择合适的检验统计量，最后将计算得到的统计量值与临界值比较，判断是否拒绝原假设。

（1）总体标准差未知的情况

• 提出假设：
  设该种零件的平均长度为$\mu$，原假设$H_{0}:\mu = 15$，备择假设$H_{1}:\mu \neq 15$。
• 计算样本均值$\overline{x}$：
  样本数据为$15.1, 14.5, 14.8, 14.6, 15.2, 14.8, 14.9, 14.6, 14.8, 15.1, 15.3, 14.7, 15.0, 15.2, 15.1, 14.7$，样本容量$n = 16$。
  根据样本均值公式$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$，可得：
  $\overline{x}=\frac{15.1 + 14.5 + 14.8 + 14.6 + 15.2 + 14.8 + 14.9 + 14.6 + 14.8 + 15.1 + 15.3 + 14.7 + 15.0 + 15.2 + 15.1 + 14.7}{16}=\frac{238.4}{16}=14.9$
• 计算样本标准差$s$：
  根据样本标准差公式$s = \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}}$，可得：
  $\begin{align*}s&=\sqrt{\frac{(15.1 - 14.9)^{2}+(14.5 - 14.9)^{2}+(14.8 - 14.9)^{2}+(14.6 - 14.9)^{2}+(15.2 - 14.9)^{2}+(14.8 - 14.9)^{2}+(14.9 - 14.9)^{2}+(14.6 - 14.9)^{2}+(14.8 - 14.9)^{2}+(15.1 - 14.9)^{2}+(15.3 - 14.9)^{2}+(14.7 - 14.9)^{2}+(15.0 - 14.9)^{2}+(15.2 - 14.9)^{2}+(15.1 - 14.9)^{2}+(14.7 - 14.9)^{2}}{16 - 1}}\\&=\sqrt{\frac{0.04 + 0.16 + 0.01 + 0.09 + 0.09 + 0.01 + 0 + 0.09 + 0.01 + 0.04 + 0.16 + 0.04 + 0.01 + 0.09 + 0.04 + 0.04}{15}}\\&=\sqrt{\frac{0.9}{15}}\\&=\sqrt{0.06}\\&\approx 0.25\end{align*}$
• 构造检验统计量：
  由于零件尺寸服从正态分布，在小样本及总体标准差未知的条件下，用样本标准差代替总体标准差，构造$t$检验统计量$t=\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{s/\sqrt{n}}$，其中$\mu_{0}=15$。
• 计算$t$统计量的值：
  将$\overline{x}=14.9$，$\mu_{0}=15$，$s = 0.25$，$n = 16$代入$t$统计量公式，可得：
  $\vert t\vert=\vert\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{s/\sqrt{n}}\vert=\vert\frac{14.9 - 15}{0.25/\sqrt{16}}\vert=\vert\frac{-0.1}{0.25/4}\vert=\vert\frac{-0.1}{0.0625}\vert = 1.6$
• 确定临界值并比较：
  给定显著性水平$\alpha = 0.05$，自由度$df=n - 1 = 16 - 1 = 15$，双侧检验的临界值$t_{\alpha/2}(n - 1)=t_{0.025}(15)=2.131$。
  因为$\vert t\vert = 1.6\lt t_{0.025}(15)=2.131$，所以不拒绝原假设$H_{0}$，即认为这批零件符合标准要求。

（2）总体方差已知的情况

• 提出假设：
  同样设该种零件的平均长度为$\mu$，原假设$H_{0}:\mu = 15$，备择假设$H_{1}:\mu \neq 15$。
• 构造检验统计量：
  已知方差$\sigma^{2}=0.09$，则标准差$\sigma = \sqrt{0.09}=0.3$，构造$z$检验统计量$z=\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}$。
• 计算$z$统计量的值：
  将$\overline{x}=14.9$，$\mu_{0}=15$，$\sigma = 0.3$，$n = 16$代入$z$统计量公式，可得：
  $\vert z\vert=\vert\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}\vert=\vert\frac{14.9 - 15}{0.3/\sqrt{16}}\vert=\vert\frac{-0.1}{0.3/4}\vert=\vert\frac{-0.1}{0.075}\vert\approx 1.33$
• 确定临界值并比较：
  给定显著性水平$\alpha = 0.05$，双侧检验的临界值$z_{\alpha/2}=z_{0.025}=1.96$。
  因为$\vert z\vert = 1.33\lt z_{0.025}=1.96$，所以不拒绝原假设$H_{0}$，即认为这批零件符合标准要求。