题目

7.已知二维随机变量(X,Y)的概率分布为-|||-Y-|||-0 1 2 3-|||-X-|||-1 0.1 0.2 0.1 0-|||-2 0.2 0 0.3 0.1-|||-求:协方差Cov(X.Y )与相关系数

题目解答

答案

解析

本题主要考查二维随机变量的协方差与相关系数的计算。解题的关键在于先求出随机变量 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布，进而得到它们的期望 $E(X)$、$E(Y)$，再计算 $E(XY)$ 以求出协方差 $Cov(X,Y)$，然后通过计算 $E(X^2)$ 和 $E(Y^2)$ 得到方差 $D(X)$ 和 $D(Y)$，最后根据协方差和方差计算相关系数 $\rho_{XY}$。

  1. 求 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布：
    • $Y$ 的边缘分布：
      • $P(Y = 0)=0.1 + 0.2 = 0.3$；
      • $P(Y = 1)=0.2 + 0 = 0.2$；
      • $P(Y = 2)=0.1 + 0.3 = 0.4$；
      • $P(Y = 3)=0 + 0.1 = 0.1$。
    • $X$ 的边缘分布：
      • $P(X = 1)=0.1 + 0.2 + 0.1 + 0 = 0.4$；
      • $P(X = 2)=0.2 + 0 + 0.3 + 0.1 = 0.6$。
  2. 计算 $E(X)$ 和 $E(Y)$：
    • 根据期望公式 $E(X)=\sum_{i}x_{i}P(X = x_{i})$，可得 $E(X)=1\times0.4 + 2\times0.6 = 0.4 + 1.2 = 1.6$。
    • 根据期望公式 $E(Y)=\sum_{j}y_{j}P(Y = y_{j})$，可得 $E(Y)=0\times0.3 + 1\times0.2 + 2\times0.4 + 3\times0.1 = 0 + 0.2 + 0.8 + 0.3 = 1.3$。
  3. 计算 $E(XY)$：
    • 根据公式 $E(XY)=\sum_{i}\sum_{j}x_{i}y_{j}P(X = x_{i},Y = y_{j})$，可得：
      • $E(XY)=1\times0\times0.1 + 1\times1\times0.2 + 1\times2\times0.1 + 1\times3\times0+2\times0\times0.2 + 2\times1\times0 + 2\times2\times0.3 + 2\times3\times0.1$
      • $=0 + 0.2 + 0.2 + 0+0 + 0 + 1.2 + 0.6 = 2.2$。
  4. 计算协方差 $Cov(X,Y)$：
    • 根据协方差公式 $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$，可得 $Cov(X,Y)=2.2 - 1.6\times1.3 = 2.2 - 2.08 = 0.12$。
  5. 计算 $E(X^2)$ 和 $E(Y^2)$：
    • 根据公式 $E(X^2)=\sum_{i}x_{i}^{2}P(X = x_{i})$，可得 $E(X^2)=1^{2}\times0.4 + 2^{2}\times0.6 = 0.4 + 2.4 = 2.8$。
    • 根据公式 $E(Y^2)=\sum_{j}y_{j}^{2}P(Y = y_{j})$，可得 $E(Y^2)=0^{2}\times0.3 + 1^{2}\times0.2 + 2^{2}\times0.4 + 3^{2}\times0.1 = 0 + 0.2 + 1.6 + 0.9 = 2.7$。
  6. 计算方差 $D(X)$ 和 $D(Y)$：
    • 根据方差公式 $D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，可得 $D(X)=2.8 - 1.6^{2}=2.8 - 2.56 = 0.24$。
    • 根据方差公式 $D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2$，可得 $D(Y)=2.7 - 1.3^{2}=2.7 - 1.69 = 1.01$。
  7. 计算相关系数 $\rho_{XY}$：
    • 根据相关系数公式 $\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\cdot\sqrt{D(Y)}}$，可得 $\rho_{XY}=\frac{0.12}{\sqrt{0.24}\cdot\sqrt{1.01}}\approx\frac{0.12}{0.4899\times1.005}\approx\frac{0.12}{0.4924}\approx0.24373$。