9.在回归分析中，利用估计的回归方程，对于x的一个新的特定值x_(0)，关于y_(0)的预测，以下说法有（）个是正确的。 1）hat(beta)_(0)+hat(beta)_(1)x_(0)是y_(0)的点估计； 2）hat(beta)_(0)+hat(beta)_(1)x_(0)是E(y_(0))的点估计； 3）平均值的置信区间比个别值的置信区间更宽； 4）个别值的置信区间是一种参数估计. A.1 B.4 C.3 D.2
题目解答
答案
为了确定关于 $y_0$ 的预测的正确说法数量，让我们逐步分析每个说法。 1. 说法1：$\hat{\beta}_{0} + \hat{\beta}_{1}x_{0}$是 $y_{0}$ 的点估计。 在回归分析中，估计的回归方程 $\hat{y} = \hat{\beta}_{0} + \hat{\beta}_{1}x$ 用于预测给定 $x$ 的 $y$ 的值。因此，$\hat{\beta}_{0} + \hat{\beta}_{1}x_{0}$ 是 $y_{0}$ 的点估计。这个说法是正确的。 2. 说法2：$\hat{\beta}_{0} + \hat{\beta}_{1}x_{0}$是 $E(y_{0})$ 的点估计。 估计的回归方程也用于预测给定 $x$ 的 $y$ 的期望值。因此，$\hat{\beta}_{0} + \hat{\beta}_{1}x_{0}$ 是 $E(y_{0})$ 的点估计。这个说法是正确的。 3. 说法3：平均值的置信区间比个别值的置信区间更宽。 个别值的置信区间通常比平均值的置信区间更宽，因为个别值有额外的变异性。平均值的置信区间只考虑了平均值的变异性，而个别值的置信区间还考虑了误差项的变异性。因此，这个说法是不正确的。 4. 说法4：个别值的置信区间是一种参数估计。 个别值的置信区间是用于估计给定 $x$ 的 $y$ 的个别值的区间估计。它不是参数估计，因为参数是回归系数 $\beta_0$ 和 $\beta_1$，而个别值的置信区间是 $y$ 的值的估计。因此，这个说法是不正确的。 根据分析，正确的说法是1和2。因此，正确的说法数量是2。 答案是 $\boxed{D}$。
解析
本题考查回归分析中关于预测值的点估计、置信区间以及参数估计的相关知识。解题思路是对每个说法依据回归分析的基本概念和性质进行逐一分析判断。
- 分析说法1：
在回归分析里，估计的回归方程$\hat{y}=\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}x$的作用就是对给定$x$时$y$的值进行预测。当$x = x_{0}$时，$\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}x_{0}$就是$y_{0}$的点估计，所以说法1正确。 - 分析说法2：
估计的回归方程同样可用于预测给定$x$时$y$的期望值。对于$x = x_{0}$，$\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}x_{0}$是$E(y_{0})$的点估计，所以说法2正确。 - 分析说法3：
个别值的置信区间要比平均值的置信区间更宽。这是因为平均值的置信区间仅考虑了平均值的变异性，而个别值的置信区间除了考虑平均值的变异性外，还需考虑误差项的变异性，所以说法3错误。 - 分析说法4：
个别值的置信区间是对给定$x$时$y$的个别值进行的区间估计。参数估计针对的是回归系数$\beta_{0}$和$\beta_{1}$，并非$y$的值，所以个别值的置信区间不是参数估计，说法4错误。