求下列函数的微分:-|||-(1) =dfrac (1)(x)+2sqrt (x);-|||-(2) =xsin 2x;-|||-(3) =dfrac (x)(sqrt {{x)^2+1}};-|||-(4) =(ln )^2(1-x);-|||-(5) =(x)^2(e)^2x;

考查要点：本题主要考查函数微分的计算，涉及导数的基本公式、乘积法则、链式法则以及分式函数求导等知识点。

解题思路：

1. 基本函数求导：如幂函数、指数函数、对数函数的导数公式；
2. 复合运算处理：对含乘积、复合函数的表达式，需结合乘积法则、链式法则；
3. 微分形式：导数计算后乘以微分$dx$，即$dy = y' dx$。

(1) $y = \dfrac{1}{x} + 2\sqrt{x}$

求导数

• $\dfrac{1}{x}$的导数为$-\dfrac{1}{x^2}$；
• $2\sqrt{x} = 2x^{1/2}$，导数为$2 \cdot \dfrac{1}{2}x^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$；
• 合并结果：$y' = -\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{\sqrt{x}}$。

(2) $y = x \sin 2x$

应用乘积法则

• 设$u = x$，$v = \sin 2x$，则$y' = u'v + uv'$；
• $u' = 1$，$v' = 2\cos 2x$（链式法则）；
• 合并结果：$y' = \sin 2x + 2x \cos 2x$。

(3) $y = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

化简表达式

• 写为$y = x(x^2 + 1)^{-1/2}$；

应用乘积法则与链式法则

• 外层导数：$u = x$，$v = (x^2 + 1)^{-1/2}$；
• $u' = 1$，$v' = -\dfrac{1}{2}(x^2 + 1)^{-3/2} \cdot 2x = -x(x^2 + 1)^{-3/2}$；
• 合并结果：$y' = (x^2 + 1)^{-1/2} - x^2(x^2 + 1)^{-3/2} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} - \dfrac{x^2}{(x^2 + 1)^{3/2}}$；
• 化简：$y' = \dfrac{1}{(x^2 + 1)^{3/2}}$。

(4) $y = \ln^2(1 - x)$

应用链式法则

• 外层函数：$u = \ln(1 - x)$，则$y = u^2$；
• $dy/du = 2u$，$du/dx = -\dfrac{1}{1 - x}$；
• 合并结果：$y' = 2\ln(1 - x) \cdot \left(-\dfrac{1}{1 - x}\right) = -\dfrac{2\ln(1 - x)}{1 - x}$。

(5) $y = x^2 e^{2x}$

应用乘积法则

• 设$u = x^2$，$v = e^{2x}$，则$y' = u'v + uv'$；
• $u' = 2x$，$v' = 2e^{2x}$；
• 合并结果：$y' = 2x e^{2x} + 2x^2 e^{2x} = 2x e^{2x}(1 + x)$。