例 2-1 在等精度测量条件下对某透平机械的转速进行了20次测量,获得如下的一-|||-列测定值(单位: /min-|||-4753.1 4757.5 4752.7 4752.8 4752.1 4749.2 4750.6-|||-4751.0 4753.9 4751.2 4750.3 4753.3 4752.1 4751.2-|||-4752.3 4748.4 4752.5 4754.7 4750.0 4751.0-|||-试求该透平机转速(设测量结果的置信概率 =95% )。

本题考查等精度测量中测量结果的计算，包括测定值子样平均值、均方根误差的计算，以及在给定置信概率下置信区间半长的求解，最终确定测量结果。解题思路如下：

1. 计算测定值子样平均值：
   子样平均值$\overline{x}$的计算公式为$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$，其中$n$是测量次数，$x_{i}$是第$i$次的测量值。
   已知$n = 20$，$x_{1}=4753.1$，$x_{2}=4757.5$，$\cdots$，$x_{20}=4751.0$，将这些值代入公式可得：
   $\overline{x}=\frac{1}{20}\sum_{i = 1}^{20}x_{i}=\frac{4753.1 + 4757.5 + 4752.7 + 4752.8 + 4752.1 + 4749.2 + 4750.6 + 4751.0 + 4753.9 + 4751.2 + 4750.3 + 4753.3 + 4752.1 + 4751.2 + 4752.3 + 4748.4 + 4752.5 + 4754.7 + 4750.0 + 4751.0}{20}=4752.0$
2. 计算均方根误差：
   由贝塞尔公式，均方根误差$\hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}}$。
   分别计算$(x_{i}-\overline{x})^{2}$的值：
   $(4753.1 - 4752.0)^{2}=1.21$
   $(4757.5 - 4752.0)^{2}=30.25$
   $\cdots$
   $(4751.0 - 4752.0)^{2}=1$
   然后将这些值代入贝塞尔公式：
   $\hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{20 - 1}\sum_{i = 1}^{20}(x_{i}-4752.0)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{19}\times(1.21 + 30.25+\cdots+1)}\approx2.0$
   用$\hat{\sigma}$来估计总体均方根误差$\sigma$，即$\sigma=\hat{\sigma}=2.0$。
   子样平均值的分布函数为$N(\overline{x},\frac{\sigma}{\sqrt{n}})=N(4752.0,\frac{2.0}{\sqrt{20}})$。
3. 求置信区间半长$\lambda$：
   对于给定的置信概率$P = 95\%$，有$P(\overline{x}-\lambda\leqslant\mu\leqslant\overline{x}+\lambda)=95\%$，即$P(-\lambda\leqslant\overline{x}-\mu\leqslant\lambda)=95\%$。
   设$\lambda = z\sigma_{\overline{x}}$，其中$\sigma_{\overline{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，且记$\overline{x}-\mu = z\sigma_{\overline{x}}$，那么$P(|\overline{x}-\mu|\leqslant z\sigma_{\overline{x}})=95\%$。
   已知$\sigma = 2.0$，$n = 20$，则$\sigma_{\overline{x}}=\frac{2.0}{\sqrt{20}}$。
   查标准正态分布表得$z = 1.96$。
   所以$\lambda = z\sigma_{\overline{x}}=1.96\times\frac{2.0}{\sqrt{20}}\approx0.9$。
4. 确定测量结果：
   测量结果可表达为转速$=\overline{x}\pm\lambda(r/min)$，即转速$=4752.0\pm0.9(r/min)$，置信概率$P = 95\%$。