题目

17.一质量为m的子弹以水平速度v0击中棒中心并插入棒内随棒一起转动,如图所示.求:-|||-(1)细棒获得的角速度.-|||-A-|||-v-|||-m L M-|||-B-|||-第17题图-|||-(2)子弹给细棒的冲量矩.-|||-(3)细棒在竖直平面内转动的最大角度.

题目解答

答案

解析

本题主要考查角动量守恒定律、角动量定理以及机械能守恒定律在刚体转动问题中的应用。解题的关键在于明确各个物理过程中系统所遵循的守恒定律，并正确运用相应的公式进行计算。

（1）求细棒获得的角速度

  • 确定系统和守恒条件：子弹击中棒的过程时间极短，可认为系统（子弹和细棒）所受合外力矩为零，因此系统的角动量守恒。
  • 计算初始角动量：子弹以水平速度$v_0$击中棒中心，其相对于棒的转动轴（棒的一端）的角动量为$L_1 = m v_0 \frac{L}{2}$，其中$m$为子弹质量，$v_0$为子弹水平速度，$L$为棒长。
  • 计算末态角动量：子弹插入棒内后，子弹和棒一起转动，系统的转动惯量为子弹的转动惯量$I_1=\frac{1}{4}mL^2$与细棒的转动惯量$I_2 = \frac{1}{3}ML^2$之和，即$I = I_1 + I_2=\frac{1}{4}mL^2+\frac{1}{3}ML^2$。设末态角速度为$\omega$，则末态角动量$L_2 = I\omega = (\frac{1}{4}mL^2+\frac{1}{3}ML^2)\omega$。
  • 根据角动量守恒定律列方程求解：由$L_1 = L_2$，可得$m v_0 \frac{L}{2}=(\frac{1}{4}mL^2+\frac{1}{3}ML^2)\omega$。
    • 化简方程：
      $\begin{align*}m v_0 \frac{L}{2}&=(\frac{1}{4}mL^2+\frac{1}{3}ML^2)\omega\\m v_0 \frac{L}{2}&=(\frac{3m + 4M}{12}L^2)\omega\\\omega&=\frac{m v_0 \frac{L}{2}}{\frac{3m + 4M}{12}L^2}\\\omega&=\frac{6m v_0}{(3m + 4M)L}\end{align*}$

（2）求子弹给细棒的冲量矩

  • 明确角动量定理：角动量定理指出，合外力矩的冲量等于系统角动量的增量，即$\int_{0}^{t} Mdt = \Delta L$。
  • 计算细棒角动量的增量：细棒初始角动量为$0$，末态角动量为$L_2 = \frac{1}{3}ML^2\omega$，将$\omega = \frac{6m v_0}{(3m + 4M)L}$代入可得：
    $\begin{align*}L_2&=\frac{1}{3}ML^2\times\frac{6m v_0}{(3m + 4M)L}\\&=\frac{2Mm v_0^2}{3m + 4M}\end{align*}$
  • 得出冲量矩：所以子弹给细棒的冲量矩$\int_{0}^{t} Mdt = \frac{2Mm v_0^2}{3m + 4M}$。

（3）求细棒在竖直平面内转动的最大角度

  • 确定守恒条件：细棒在竖直平面内转动过程中，只有重力做功，系统的机械能守恒。
  • 计算初始机械能：细棒和子弹一起转动的初始动能为$E_{k1} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}ML^2+\frac{1}{4}mL^2)\omega^2$，初始势能为$0$。
  • 计算末态机械能：当细棒转动到最大角度$\theta$时，系统的动能为$0$，势能增加量为$E_{p2} = (M + m)gL(1 - \cos\theta)$。
  • 根据机械能守恒定律列方程求解：由$E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$，可得$\frac{1}{2}(\frac{1}{3}ML^2+\frac{1}{4}mL^2)\omega^2 = \frac{1}{2}(M + m)gL(1 - \cos\theta)$。
    • 将$\omega = \frac{6m v_0}{(3m + 4M)L}$代入上式：
      $\begin{align*}\frac{1}{2}(\frac{1}{3}ML^2+\frac{1}{4}mL^2)(\frac{6m v_0}{(3m + 4M)L})^2&=\frac{1}{2}(M + m)gL(1 - \cos\theta)\\(\frac{3M + 4m}{12}L^2)\frac{36m^2 v_0^2}{(3m + 4M)^2L^2}&=(M + m)gL(1 - \cos\theta)\\\frac{3m^2 v_0^2}{(3m + 4M)L}&=(M + m)gL(1 - \cos\theta)\\1 - \cos\theta&=\frac{3m^2 v_0^2}{(M + m)(3m + 4M)gL}\\\cos\theta&=1 - \frac{3m^2 v_0^2}{(M + m)(3m + 4M)gL}\\\theta&=\arccos(1 - \frac{3m^2 v_0^2}{(M + m)(3m + 4M)gL})\end{align*}$
      根据三角函数关系$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 1$，可得$\sin\theta=\sqrt{1 - \cos^2\theta}$，进一步化简可得$\theta = \arcsin[1 - \frac{3m^2 v_0^2}{(M + m)(3m + 4M)gL}]$。