题目

一辆汽车通过半径是 100 , (m) 圆弧形弯道，汽车所走过的弧长路程随时间变化可以表示为：s = -3t^2 + 80t。求 t = 3 , (s) 时汽车的速率、切向加速度、法向加速度、角速度和角加速度。

一辆汽车通过半径是 $100 \, \text{m}$ 圆弧形弯道，汽车所走过的弧长路程随时间变化可以表示为：$s = -3t^2 + 80t$。求 $t = 3 \, \text{s}$ 时汽车的速率、切向加速度、法向加速度、角速度和角加速度。

题目解答

答案

根据题意，$ v = \frac{ds}{dt} = -6t + 80 $，在 $ t = 3 \, \text{s} $ 时，$ v = 62 \, \text{m/s} $。 切向加速度为 $ a_t = \frac{dv}{dt} = -6 \, \text{m/s}^2 $。 法向加速度为 $ a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{62^2}{100} = 38.44 \, \text{m/s}^2 $。 角速度为 $ \omega = \frac{v}{R} = \frac{62}{100} = 0.62 \, \text{rad/s} $。 角加速度为 $ \alpha = \frac{a_t}{R} = \frac{-6}{100} = -0.06 \, \text{rad/s}^2 $。 最终结果： - 速率 $ v = 62 \, \text{m/s} $； - 切向加速度 $ a_t = -6 \, \text{m/s}^2 $； - 法向加速度 $ a_n = 38.44 \, \text{m/s}^2 $； - 角速度 $ \omega = 0.62 \, \text{rad/s} $； - 角加速度 $ \alpha = -0.06 \, \text{rad/s}^2 $。

解析

本题主要考查了圆周运动中速率、切向加速度、法向加速度、角速度和角加速度的计算，解题的关键在于理解各物理量之间的关系，并利用导数的知识求出相应的物理量。

  1. 求速率 $v$：
    • 速率是路程对时间的一阶导数，已知弧长路程随时间变化的函数为 $s = -3t^2 + 80t$。
    • 根据求导公式 $(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，对 $s$ 求导可得 $v=\frac{ds}{dt}=\frac{d(-3t^2 + 80t)}{dt}$。
    • 分别对 $-3t^2$ 和 $80t$ 求导，$(-3t^2)^\prime=-3\times2t=-6t$，$(80t)^\prime = 80$，所以 $v=-6t + 80$。
    • 将 $t = 3\,\text{s}$ 代入 $v$ 的表达式，可得 $v=-6\times3 + 80=-18 + 80 = 62\,\text{m/s}$。
  2. 求切向加速度 $a_t$：
    • 切向加速度是速率对时间的一阶导数，即 $a_t=\frac{dv}{dt}$。
    • 因为 $v=-6t + 80$，对其求导，$(-6t)^\prime=-6$，$(80)^\prime = 0$，所以 $a_t=\frac{d(-6t + 80)}{dt}=-6\,\text{m/s}^2$。
  3. 求法向加速度 $a_n$：
    • 法向加速度的计算公式为 $a_n=\frac{v^2}{R}$，其中 $v$ 是速率，$R$ 是圆弧形弯道的半径。
    • 已知 $v = 62\,\text{m/s}$，$R = 100\,\text{m}$，将其代入公式可得 $a_n=\frac{62^2}{100}=\frac{3844}{100}=38.44\,\text{m/s}^2$。
  4. 求角速度 $\omega$：
    • 角速度的计算公式为 $\omega=\frac{v}{R}$。
    • 已知 $v = 62\,\text{m/s}$，$R = 100\,\text{m}$，将其代入公式可得 $\omega=\frac{62}{100}=0.62\,\text{rad/s}$。
  5. 求角加速度 $\alpha$：
    • 角加速度的计算公式为 $\alpha=\frac{a_t}{R}$。
    • 已知 $a_t=-6\,\text{m/s}^2$，$R = 100\,\text{m}$，将其代入公式可得 $\alpha=\frac{-6}{100}=-0.06\,\text{rad/s}^2$。