今有20℃的乙烷和丁烷混合气体,充入体积为400cm3的真空容器中,直至压力为101.325kPa,测得混合气体的质量为0.7794g,则乙烷的摩尔分数为丁烷的摩尔分数为南京航空航天大学2017研]

本题考查理想气体状态方程以及摩尔分数的计算。解题思路是先根据混合气体的质量和各组分的摩尔质量列出一个方程，再利用理想气体状态方程求出混合气体的总物质的量，进而列出另一个方程，联立求解出乙烷和丁烷的物质的量，最后根据摩尔分数的定义计算出它们的摩尔分数。

步骤一：根据混合气体质量列出方程

设乙烷的物质的量为$n_{乙烷}$，丁烷的物质的量为$n_{丁烷}$。
已知乙烷的摩尔质量$M_{乙烷}=30g\cdot mol^{-1}$，丁烷的摩尔质量$M_{丁烷}=58g\cdot mol^{-1}$，混合气体质量为$0.7794g$，根据质量等于物质的量乘以摩尔质量，可得到方程：
$n_{乙烷}\times30g\cdot mol^{-1}+n_{丁烷}\times58g\cdot mol^{-1}=0.7794g$ ①

步骤二：根据理想气体状态方程求出混合气体总物质的量

已知混合气体体积$V = 400cm^3=400\times10^{-6}m^3$，压力$P = 101.325kPa = 101325Pa$，温度$T=(20 + 273.15)K = 293.15K$，气体常数$R = 8.314J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}$。
由理想气体状态方程$PV = nRT$，可得混合气体总物质的量$n=n_{乙烷}+n_{丁烷}=\frac{PV}{RT}$，将数值代入可得：
$n_{乙烷}+n_{丁烷}=\frac{101325Pa\times400\times10^{-6}m^3}{8.314J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}\times293.15K}\approx0.0166mol$ ②

步骤三：联立方程求解乙烷和丁烷的物质的量

由②式可得$n_{丁烷}=0.0166mol - n_{乙烷}$，将其代入①式可得：
$30n_{乙烷}+58\times(0.0166 - n_{乙烷}) = 0.7794$
$30n_{乙烷}+0.9628 - 58n_{乙烷}=0.7794$
$-28n_{乙烷}=0.7794 - 0.9628$
$-28n_{乙烷}=-0.1834$
$n_{乙烷}=\frac{0.1834}{28}mol\approx0.0066mol$
将$n_{乙烷}=0.0066mol$代入②式可得：
$n_{丁烷}=0.0166mol - 0.0066mol = 0.01mol$

步骤四：计算乙烷和丁烷的摩尔分数

根据摩尔分数的定义，某一组分的摩尔分数等于该组分的物质的量除以混合气体的总物质的量。
乙烷的摩尔分数$x_{乙烷}=\frac{n_{乙烷}}{n_{乙烷}+n_{丁烷}}=\frac{0.0066mol}{0.0066mol + 0.01mol}=0.4$
丁烷的摩尔分数$x_{丁烷}=\frac{n_{丁烷}}{n_{乙烷}+n_{丁烷}}=\frac{0.01mol}{0.0066mol + 0.01mol}=0.6$