顾客到达某服务中心的过程可以建模为一个强度为 lambda=6 (人/小时) 的齐次泊松过程。每位到达的顾客会独立地以概率 p=0.2 提交一份需要特殊处理的“优先订单”。(1) 在2小时内，到达的顾客人数服从何种分布？请写出其参数。并计算该时间段内恰好有10位顾客到达的概率（写出表达式即可）。(2) 设 M(t) 表示在 [0,t] 时间内提交优先订单的顾客数。a. M(t) 服从何种分布？请写出其参数。b. 求在一小时内，提交优先订单的顾客数的期望和方差。(3) 已知在过去30分钟内，共有5位顾客到达。求这其中恰好有2位顾客提交了优先订单的概率。

本题主要考查齐次泊松过程、二项分布的相关知识，解题思路如下：

(1)

• 确定分布及参数：已知顾客到达过程为强度 $\lambda = 6$（人/小时）的齐次泊松过程，根据齐次泊松过程的性质，在时间区间 $[0,t]$ 内到达的顾客人数 $N(t)$ 服从参数为 $\lambda t$ 的泊松分布。对于 $t = 2$ 小时，参数为 $\lambda t=6\times2 = 12$，即 $N(2) \sim \text{Poisson}(12)$。
• 计算概率：若随机变量 $X\sim\text{Poisson}(\mu)$，其概率质量函数为 $P(X = k)=\frac{\mu^{k}e^{-\mu}}{k!}$。这里 $\mu = 12$，$k = 10$，所以 $P(N(2) = 10)=\frac{12^{10}e^{-12}}{10!}$。

(2)

• a. 确定分布及参数：
  • 设 $N(t)$ 是 $[0,t]$ 时间内到达的顾客数，$N(t)\sim\text{Poisson}(\lambda t)$，每位顾客提交优先订单的概率为 $p$。
  • 对于 $M(t)$ 表示在 $[0,t]$ 时间内提交优先订单的顾客数，根据泊松过程的性质，$M(t)$ 服从参数为 $\lambda p t$ 的泊松分布，即 $M(t) \sim \text{Poisson}(\lambda p t)$。
• b. 计算期望和方差：
  • 对于泊松分布 $X\sim\text{Poisson}(\mu)$，其期望 $E(X)=\mu$，方差 $D(X)=\mu$。
  • 当 $t = 1$ 小时，$\mu=\lambda p=6\times0.2 = 1.2$，所以期望 $E(M(1)) = 1.2$，方差 $D(M(1)) = 1.2$。

(3)

• 确定分布：已知在过去 30 分钟（即 $t = 0.5$ 小时）内共有 $n = 5$ 位顾客到达，每位顾客提交优先订单的概率为 $p = 0.2$，且每位顾客是否提交优先订单相互独立，所以提交优先订单的顾客数 $X$ 服从二项分布 $X\sim\text{Binomial}(n,p)$，即 $X\sim\text{Binomial}(5,0.2)$。
• 计算概率：若随机变量 $X\sim\text{Binomial}(n,p)$，其概率质量函数为 $P(X = k)=\binom{n}{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$。这里 $n = 5$，$k = 2$，$p = 0.2$，$1-p=0.8$，则 $P(X = 2)=\binom{5}{2}(0.2)^{2}(0.8)^{3}$。
  • 计算 $\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5 - 2)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10$。
  • 所以 $P(X = 2)=10\times(0.2)^{2}\times(0.8)^{3}=10\times0.04\times0.512 = 0.2048$。